类型九 倒数和差分式讲义-2022-2023学年苏科版数学八年级下册分式类型突破提高

类型九、倒数和差分式 【解惑】 倒数法： 【融会贯通】 1．要使的值和的值互为倒数，则x的值是（　　） A．0 B． C． D．1 2．若x和y互为倒数，则的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．若（m为正整数），且、互为相反数，、互为倒数，则的值为（   ） A． B． C． D．或 4．a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数，如2的差倒数为，－1的差倒数为，已知，是差倒数，是差倒数，是差倒数，以此类推……，的值是（    ） A．5 B． C． D． 5．已知两个分式：，，其中x≠±2，则A与B的关系是（ ） A．相等 B．互为倒数 C．互为相反数 D．A大于B 【知不足】 6．已知有理数，我们把称为的差倒数，如：2的差倒数是，的差倒数是，如果的差倒数正好是，那么的值是________． 7．已知，则的值为_____________. 8．若，则_________． 9．如果，那么的值为 __________． 【一览众山小】 10．阅读理解 例题：已知实数x满足x+＝4，求分式的值． 解：∵x+＝4． ∴的倒数＝x++3＝4+3＝7 ∴＝ (1)已知实数a满足a+＝5，求分式的值． (2)已知实数b满足b+＝9，求分式的值． 11．对于两个不相等的非零实数m、n，分式的值为零，则或，又因为，所以关于x的方程有两个解，分别为，．应用上面的结论解答下列问题： (1)方程有两个解，分别为________，________； (2)关于x的方程的两个解分别为，，若与互为倒数且，则________，________； (3)关于x的方程的两个解分别为，（），求的值． 12．阅读理解： 材料1：已知，求分式的值． 解：活用倒数，∵． ∴． 材料2：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：由分母，可设，则． ∵对于任意上述等式成立， ∴解得 ∴． 根据材料，解答下面问题： (1)已知，则分式的值为 ． (2)已知，求分式的值． (3)已知，则分式的值为 ． 13．阅读下面的解题过程： 已知：，求的值． 解：由知．所以．即． 所以． 故的值为． (1)上题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的题目：已知，求的值． (2)已知，，．求的值． 14．【阅读学习】阅读下面的解题过程： 已知：，求的值． 解：由知，所以，即， 所以， 故的值为． (1)上题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的题目： 已知，求的值． 【拓展延伸】 (2)已知，，，求的值． 15．阅读下面的解题过程：已知：，求的值． 解：知，所以，即． 所以． 故的值为． 该题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的题目： 已知：，求的值． 16．阅读： 对于两个不等的非零实数a、b，若分式的值为零，则或．又因为，所以关于x的方程有两个解，分别为，． 应用上面的结论解答下列问题： (1)方程有两个解，分别为 ， ； (2)关于x的方程的两个解分别为、（＜），若与互为倒数，则 ， ； (3)关于x的方程的两个解分别为、（＜），求的值． 17．阅读下列材料： 关于的方程： 的解是，； （即）的解是，； 的解是，； 的解是；… (1)请观察上述方程与解的特征，比较关于的方程与它们的关系，猜想它的解是什么？并利用“方程的解”的概念进行验证； (2)由上述的观察、比较、猜想、验证，可以得出结论：如果方程的左边是未知数与其倒数的倍数的和，方程的右边的形式与左边完全相同，只是把其中的未知数换成了某个常数，那么这样的方程可以直接得解，请用这个结论解关于的方程：． 18．阅读下列解题过程：已知，求的值 解：由，知，所以，即， ∴， ∴的值为2的倒数，即 以上解法中先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出待求式子倒数的值，我们把这种解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面问题： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值； (3)已知，，，求的值． 19．在解决数学问题时，我们常常借助“转化”的思想化繁为简，化难为易．如在某些分式问题中，根据分式的结构特征，通过取倒数的方法可将复杂问题转化为简单问题，使问题迎刃而解． 例：已知，求的值． 解：∵，∴．∴，∴，…… (1)请继续完成上面的问题； (2)请仿照上述思想方法解决问题：已知，求的值． 20．在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题． 材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的． 例：已知：，求代数式的值． 解：∵， ∴即， ∴， ∴． 材料二：在解决某些连等式问题时，