专题28.1 解直角三角形的应用（压轴题专项讲练）-2022-2023学年九年级数学下册压轴题专项讲练系列（人教版）

专题28.1 解直角三角形的应用 【典例1】如图是一种手机三脚架，它通过改变锁扣C在主轴AB上的位置调节三脚架的高度，其它支架长度固定不变，已知支脚DE＝AB．底座CD⊥AB，BG⊥AB，且CD＝BG，F是DE上的固定点，且EF：DF＝2：3． （1）当点B，G，E三点在同一直线上（如图1所示）时，测得tan∠BED＝2．设BC＝5a，则FG＝__（用含a的代数式表示）； （2）在（1）的条件下，若将点C向下移动24cm，则点B，G，F三点在同一直线上（如图2），此时点A离地面的高度是__cm． 【思路点拨】 （1）如图1中，连接DG，EG，过点F作FH⊥BE于H，则四边形CDGB是矩形．可得BC＝DG＝5a，根据勾股定理和已知条件可得EG和DE，再证明△EFH∽△EDG，可得DF，根据勾股定理即可解决问题； （2）如图1中，连接DG，EG，过点F作FH⊥BE于H，则四边形CDGB是矩形．如图2中，连接DG．作EJ⊥BF交BF的延长线于J．利用勾股定理构建方程求出x即可． 【解题过程】 解：（1）如图，连接DG，EG，过点F作FH⊥BE于H，则四边形CDGB是矩形． ∴BC＝DG＝5a， 在Rt△DEG中，tan∠DEB＝＝2， ∴，， ∵FH∥DG， ∴， ∴△EFH∽△EDG， ∴， ∴， ∴DF＝，EH＝EG＝＝a，HG＝EG﹣EH＝﹣a＝， ∴， ∴； （2）如图1中，连接DG，EG，过点F作FH⊥BE于H，则四边形CDGB是矩形． 设BC＝DG＝2xcm， 在Rt△DEG中，tan∠DEB＝＝2， ∴EG＝x（cm），（cm）， ∵FH∥DG， ∴， ∴DF＝（cm），EH＝（cm），HG＝（cm）， ∴（cm）， ∴ （cm）， 如图2中，连接DG． ∵DF2＝DG2+FG2， ∴， 解得或（舍弃）， ∴cm， 作EJ⊥BF交BF的延长线于J．则EJ＝EF•sin∠EFJ＝（4+4）cm， ∴点A离地面的高度＝AB+EJ＝（19+19）cm． 1．（2022春·四川泸州·九年级专题练习）某水库大坝的横截面是如图所示的四边形ABCD，其中，大坝顶上有一瞭望台PC，PC正前方有两艘渔船M，N．观察员在瞭望台顶端P处观测到渔船M的俯角α为31°，渔船N的俯角β为45°．已知MN所在直线与PC所在直线垂直，垂足为E，且PE长为30米． （1）求两渔船M，N之间的距离（结果精确到1米）； （2）已知坝高24米，坝长100米，背水坡AD的坡度，为提高大坝防洪能力，请施工队将大坝的背水坡通过填筑土石方进行加固，坝底BA加宽后变为BH，加固后背水坡DH的坡度，完成这项工程需填筑土石方多少立方米？（参考数据：，） 2．（2022·山东聊城·统考二模）从2019年底以来，新冠疫情一直困扰着我们的日常生活，今年为进一步加强疫情防控工作，某公司决定安装红外线体温检测仪，这种设备的原理是采用非接触式测温法，只要用红外体温测试仪的镜头对准被测对象进行扫描，其体温就可立刻在显示屏上显示出来，从而有效地避免了其他常规测温法所可能造成的交叉感染，测温区域示意图如图所示，已知最大探测角∠PAO＝75°，最小探测角∠PBO＝30°．（参考数据：＝1.414，＝1.732，＝2.236） （1）若该设备安装在离水平地面距离为2.2m的P处，即OP＝2.2m，请求出图中OB的长度；（结果精确到0.1m） （2）若该公司要求测温区域AB的长度为4 m，请求出该设备的安装高度OP的高度．（结果精确到0.1 m） 3．（2023·全国·九年级专题练习）2022年6月5日，“神舟十四号”载人航天飞船搭载“明星”机械臂成功发射．如图是处于工作状态的某型号手臂机器人示意图，是垂直于工作台的移动基座，、为机械臂，m，m，m，．机械臂端点到工作台的距离m． （1）求、两点之间的距离； （2）求长． 4．（2022·安徽·校联考二模）如图①是某公园的一个上肢牵引器，图②是其静止状态下的简化示意图（CE、DF分别在同一水平线上），立柱AB与水平地面MN垂直，挑杆AC＝AE，手拉链CD＝EF，且始终与地面垂直．经查询，挑杆AC＝AE＝0.33m，∠CAE＝130°．当运动者做上肢牵引运动时，将牵引器由静止状态拉至如图③所示的状态，此时∠CAB＝52°，求点E上升的高度．（结果精确到0.01m，参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14，sin78°≈0.98，cos78°≈0.21，tan78°≈4.70） 5．（2022·安徽蚌埠·统考二模）某校初中数学综合实践开展了多彩的活动．在一次活动中，某兴趣小组学习了以下史料：魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高：如图，点，H，G在水平线AC上，DE和FG