06 利用导数研究函数零点问题 同步复习讲义-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

高二数学 同步复习讲义（人教A版（2019）） 06 利用导数研究函数零点问题 ◇ 知 识 链 接 ◇ 知识链接01 判断、证明或讨论函数零点个数的方法　 利用零点存在性定理求解函数热点问题的前提条件为函数图象在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0． （1）直接法：判断一个零点时，若函数为单调函数，则只需取值证明f(a)·f(b)<0； （2）分类讨论法：判断几个零点时，需要先结合单调性，确定分类讨论的标准，再利用零点存在性定理，在每个单调区间内取值证明f(a)·f(b)<0． 知识链接02 已知函数有零点求参数范围常用的方法 （1）分离参数法：一般命题情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为从f(x)中分离出参数，然后利用求导的方法求出由参数构造的新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； （2）分类讨论法：一般命题情境为没有固定区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为结合单调性，先确定参数分类的标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各小范围并在一起，即为所求参数范围． ◇ 典 例 剖 析 ◇ 典例剖析01 讨论（或证明）函数的零点个数 （1）讨论函数g(x)＝－－(x>0)的零点的个数． （2）讨论函数y＝x2－aln x(x＞0)的零点个数． （3）当m≥1时，讨论函数f(x)＝x2－mln x与g(x)＝x2－(m＋1)x，m>0图象的交点个数． 典例剖析02 已知零点存在情况求参数范围 （1）若f(x) ＝x3－kx＋k2有三个零点，求k的取值范围． （2）已知关于x的方程－x2＋ax－3＝2xln x在区间上有两个不等实根，求实数a的取值范围． （3）已知函数f(x)＝(x－1)ex－x2＋b＋的图象与直线y＝bx有3个交点，求b的取值范围． 典例剖析03 已知函数的极值点情况讨论极值的取值范围（消元） （1）已知，有两个极值点，． 求的最小值． （2）已知函数存在两个极值点，且， 求的最大值． （3）已知函数（其中常数有两个极值点、， 且，求证：． ◇ 小 试 牛 刀 ◇ 1．若曲线f(x)＝x3－x2＋2x＋5与直线y＝2x＋m有三个交点，求实数m的取值范围． 2．若函数g(x)＝ex(x－2)－m有两个零点，求实数m的取值范围． 3．已知函数f(x)＝ex＋ax－a(a∈R且a≠0) 不存在零点，求实数a的取值范围． 4．已知f(x)＝ax2(a∈R)，g(x)＝2ln x. （1）讨论函数F(x)＝f(x)－g(x)的单调性； （2）若方程f(x)＝g(x)在区间[1，e]上有两个不相等的解，求a的取值范围． 5．讨论函数f(x)＝ln x－x2＋ax，a≥1的零点个数． 6．试证明h(x)＝x2＋4－4xsin x－4cos x在R上有且仅有三个零点． 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学 同步复习讲义（人教A版（2019）） 06 利用导数研究函数零点问题 ◇ 知 识 链 接 ◇ 知识链接01 判断、证明或讨论函数零点个数的方法　 利用零点存在性定理求解函数热点问题的前提条件为函数图象在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0． （1）直接法：判断一个零点时，若函数为单调函数，则只需取值证明f(a)·f(b)<0； （2）分类讨论法：判断几个零点时，需要先结合单调性，确定分类讨论的标准，再利用零点存在性定理，在每个单调区间内取值证明f(a)·f(b)<0． 知识链接02 已知函数有零点求参数范围常用的方法 （1）分离参数法：一般命题情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为从f(x)中分离出参数，然后利用求导的方法求出由参数构造的新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； （2）分类讨论法：一般命题情境为没有固定区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为结合单调性，先确定参数分类的标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各小范围并在一起，即为所求参数范围． ◇ 典 例 剖 析 ◇ 典例剖析01 讨论（或证明）函数的零点个数 （1）讨论函数g(x)＝－－(x>0)的零点的个数． （2）讨论函数y＝x2－aln x(x＞0)的零点个数． （3）当m≥1时，讨论函数f(x)＝x2－mln x与g(x)＝x2－(m＋1)x，m>0图象的交点个数． 【解析】（1）由题g(x)＝0，得m＝－x3＋x(x>0)． 设φ(x)＝－x3＋x(x>0)，则φ′(x)＝－x2＋1＝－(x－1)(x＋1)． 当x∈(0,