05 利用导数研究不等式恒成立(能成立)问题 同步复习讲义-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

高二数学 同步复习讲义（人教A版（2019）） 05 利用导数研究不等式恒成立(能成立)问题 ◇ 知 识 链 接 ◇ 知识链接01 分离参数法处理恒成立（能成立）问题 （1）若a>f(x)对x∈D恒成立，则只需a>f(x)max； 若a<f(x)对x∈D恒成立，则只需a<f(x)min． （2）若存在x0∈D，使a>f(x0)成立，则只需a>f(x)min； 若存在x0∈D，使a<f(x0)成立，则只需a<f(x0)max． （3）∀x1，x2∈D，f(x1)>g(x2)⇔f(x)min>g(x)max； ∀x1∈D1，∃x2∈D2，f(x1)>g(x2)⇔f(x)min>g(x)min； ∃x1∈D1，∀x2∈D2，f(x1)>g(x2)⇔f(x)max>g(x)max． 知识链接02 分类讨论法处理恒成立（能成立）问题 常见有两种情况： （1）先利用综合法，结合导函数零点之间大小关系的决定条件，确定分类讨论的标准，分类后，判断不同区间函数的单调性，得到最值，构造不等式求解； （2）直接通过导函数的式子，看出导函数值正负的分类标准，通常导函数为二次函数或者一次函数． ◇ 典 例 剖 析 ◇ 典例剖析01 分离参数法解决不等式恒（能）成立问题 （1）若对于所有x≥1都有xln x≥ax－1，求实数a的取值范围． （2）若sin x－xcos x－x3＞kx－xcos x－x3－1对x∈恒成立，求实数k的取值范围． （3）当x≥1时，不等式－ ≥0恒成立，求实数k的取值范围． （4）∃ x∈[1，e]，使不等式－ ≥0成立，求实数k的取值范围． 典例剖析02 带参讨论分析最值解决不等式恒（能）成立问题 （1）已知函数f(x)＝x－aln x，g(x)＝－(a∈R)．若在[1，e]上存在一点x0，使得f(x0)<g(x0)成立，求a的取值范围． （2）若不等式ex－1－ax≥－a＋1 (a∈R)对一切x∈[1，＋∞)恒成立，求实数a的取值范围． （3）当x≥0时，ex＋ax2－x≥x3＋1，求a的取值范围． 典例剖析03 最值定位法解决双变量的恒(能)成立问题 （1）设f(x)＝＋xln x，g(x)＝x3－x2－3．若存在x1，x2∈[0,2]，使得g(x1)－g(x2)≥M成立，求满足上述条件的最大整数M； （2）设f(x)＝＋xln x，g(x)＝x3－x2－3．若对∀s，t∈，都有f(s)≥g(t)成立，求实数a的取值范围． （3）设f(x)＝x－(a＋1)ln x－(a < 1)，g(x)＝x2＋ex－xex．若存在x1∈[e，e2]，使得对任意的x2∈[－2,0]，f(x1)<g(x2)成立，求a的取值范围． ◇ 小 试 牛 刀 ◇ 1．已知函数f(x)＝ax－ex(a∈R)，g(x)＝. （1）求函数f(x)的单调区间； （2）∃x∈(0，＋∞)，使不等式f(x)≤g(x)－ex成立，求a的取值范围． 2．已知函数f(x)＝ax＋x2－xln a(a>0，a≠1)． （1）求函数f(x)的极小值； （2）若存在x1，x2∈[－1,1]，使得|f(x1)－f(x2)|≥e－1，求实数a 的取值范围． 3．已知两个函数f(x)＝7x2－28x－c，g(x)＝2x3＋4x2－40x.若对任意x1∈[－3,3]，x2∈[－3,3]都有f(x1)≤g(x2)成立，求实数c的取值范围． 4．已知函数f(x)＝ln x－，g(x)＝x－(a＞0)．若对∀x1，x2∈[2,2e2]都有g(x1)≥f(x2)成立，求实数a的取值范围． 5．已知函数f(x)＝x－1－aln x(a<0)． （1）讨论函数f(x)的单调性； （2）若对于任意的x1，x2∈(0,1]，且x1≠x2，都有|f(x1)－f(x2)|<4，求实数a的取值范围． 6．已知函数f(x)＝aex－x－1. （1）若f(x)的最小值为0，求a的值； （2）设m为整数，且对于任意正整数n，·…·＜m，求m的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学 同步复习讲义（人教A版（2019）） 05 利用导数研究不等式恒成立(能成立)问题 ◇ 知 识 链 接 ◇ 知识链接01 分离参数法处理恒成立（能成立）问题 （1）若a>f(x)对x∈D恒成立，则只需a>f(x)max； 若a<f(x)对x∈D恒成立，则只需a<f(x)min． （2）若存在x0∈D，使a>f(x0)成立，则只需a>f(x)min； 若存在x0∈D，使a<f(x0)成立，则只需a<f(x0)max． （3）∀x1，x2∈D，f(x1)>g(x2)⇔f(x)min>g(x)max； ∀x1∈D1，∃x2∈D2，f(x