02 平面向量基本定理及坐标表示 同步复习讲义-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

高一数学 同步复习讲义（人教A版（2019）） 02 平面向量基本定理及坐标表示 ◇ 知 识 链 接 ◇ 知识链接01 平面向量基本定理 如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. 我们把不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一个基底． 知识链接02 平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解． 知识链接03 平面向量的坐标运算 （1）向量加法、减法、数乘运算及向量的模 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)， a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)， |a|＝. （2）向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，||＝. 知识链接04 平面向量共线的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0. 知识链接05 常用结论 （1）向量共线的充要条件的两种形式 a∥b ⇔b＝λa (a≠0，λ∈R)； a∥b ⇔x1y2－x2y1＝0(其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2))． （2）已知P为线段AB的中点，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则P点坐标为. （3）已知△ABC的顶点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)， 则△ABC的重心G的坐标为. ◇ 典 例 剖 析 ◇ 典例剖析01 平面向量基本定理的应用 （1）在△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且＝2，＝3， 若＝a，＝b，则等于(　　) A．a＋b B．a－b C．－a－b D．－a＋b （2）设△ABC中BC边上的中线为AD，点O满足＝2，则＝(　　) A．－＋ B．－ C．－ D．－＋ （3）如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为边AB，BC的中点，连接CE，DF，交于点G.若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则＝________. （4）如图，已知在△OCB中，A是CB的中点，D是将分成2∶1的一个内分点，DC和OA交于点E．若＝λ，则实数λ等于 ． （5）梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为CD，BC的中点． 若＝λ＋μ，则λ＋μ等于 ． （6）已知在△ABC中，点O满足＋＋＝0，点P是OC上异于端点的任意一点，且＝m＋n，则m＋n的取值范围是 ． 典例剖析02 平面向量的坐标运算 （1）已知a＝(5，－2)，b＝(－4，－3)，若a－2 b＋3c＝0，则c＝ ． （2）已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设＝a，＝b，＝c.若a＝mb＋nc，则m＝________，n＝________． （3）已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，则线段AB中点的坐标为________，△ABC的重心G的坐标为 ． （4）已知A(－1,2)，B(2，－1)，若点C满足＋＝0，则点C的坐标为 ． （5）已知O为坐标原点，点C是线段AB上一点，且A(1,1)，C(2,3)，||＝2||，则向量的坐标是________． （6）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，AD⊥DC，AD＝DC＝2AB，E为AD的中点，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为 ． 典例剖析03 向量共线的坐标表示 （1）已知向量＝(1,4)，＝(m，－1)，若∥，则实数m的值为______． （2）已知向量a＝(2,1)，b＝(x，－1)，且a－b与b共线，则x的值为________． （3）在梯形ABCD中，AB∥DC，且DC＝2AB，三个顶点A(1,2)，B(2,1)，C(4,2)，则点D的坐标为 ． （4）平面内给定三个向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)． 若d满足(d－c)∥(a＋b)，且|d－c|＝，则d的坐标为________． （5）已知向量＝(k,12)，＝(4,5)，＝(－k,10)，且A，B，C三点共线，则k＝________． （6）已知在平面直角坐标系xOy中，P1(3,1)，P2(－1,3)，P1，P2，P3三点共线且向量与a＝(1，－1)共线，若＝λ＋(1－λ) ，则λ＝________． （7）在△ABC中，已知点O(0,0)，A(0,5)，B(4,3)，＝，＝，AD与BC交于点M，则点M的坐标为