01 平面向量的概念及线性运算 同步复习讲义-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

高一数学 同步复习讲义（人教A版（2019）） 01 平面向量的概念及线性运算 ◇ 知 识 链 接 ◇ 知识链接01 向量的有关概念 （1）向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模． （2）零向量：长度为0的向量，记作0． （3）单位向量：长度等于1个单位长度的向量． （4）平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量． 规 定：0与任意向量平行． （5）相等向量：长度相等且方向相同的向量． （6）相反向量：长度相等且方向相反的向量． 知识链接02 向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运算 交换律：a＋b＝b＋a；结合律： (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 减法 求两个向量差的运算 a－b＝a＋(－b) 数乘 求实数λ与向量a的积的运算 |λ a|＝|λ||a|， 当λ>0时，λa与a的方向相同； 当λ<0时，λa与a的方向相反； 当λ＝0时，λa＝0 λ(μ a)＝(λμ)a； (λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb 知识链接03 向量共线定理 向量b与非零向量a共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使得b＝λa. 知识链接04 常用结论 （1）向量加法的三角形法则要素是“首尾相接，指向终点”； 向量减法的三角形法则要素是“起点重合，指向被减向量的终点”； 平行四边形法则要素是“起点重合”． （2）与非零向量a平行的单位向量有两个，即向量和－. （3）A，B，C三点共线 ⇔ ，共线，即：存在实数λ，使＝λ． ⇔ ＝λ＋μ (λ，μ为实数) 且 λ＋μ＝1． （4）若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则＝(＋)； 若G为ABC的重心，O为平面内任一点，则＝(＋＋)． ◇ 典 例 剖 析 ◇ 典例剖析01 平面向量的概念 （1）(多选)给出下列命题，其中叙述错误的命题为(　　) A．向量的长度与向量的长度相等 B．向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反 C．|a|＋|b|＝|a－b|⇔a与b方向相反 D．若非零向量a与非零向量b的方向相同或相反，则a＋b与a，b之一的方向相同 （2）(多选)下列命题中错误的有(　　) A．平行向量就是共线向量 B．相反向量就是方向相反的向量 C．a与b同向，且|a|>|b|，则a>b D．两个向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件 （3）(多选)下列命题正确的有(　　) A．方向相反的两个非零向量一定共线 B．单位向量都相等 C．若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同 D．“若A，B，C，D是不共线的四点，且＝” ⇔“四边形ABCD是平行四边形” （4）设a，b都是非零向量，下列四个条件中，使＝成立的充分条件是(　　) A．a＝－b B．a∥b C．a＝2b D．a∥b且|a|＝|b| 典例剖析02 平面向量的线性运算 （1）设非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则(　　) A．a⊥b B．|a|＝|b| C．a∥b D．|a|>|b| （2）在△ABC中，＝，若＝a，＝b，则等于(　　) A．a＋b B．a＋b C．.a－b D．a－b （3）在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则等于(　　) A．－ B．－ C．＋ D．＋ （4）设D是△ABC所在平面内一点，＝2，则(　　) A．＝－ B．＝－ C．＝－ D．＝－ （5）如图，AB是圆O的一条直径，C，D是半圆弧的两个三等分点，则＝(　　) A．－ B．2－2 C．－ D．2－2 （6）在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AD为BC边上的高，O为AD的中点，若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，则λ＋μ＝ ． （7）在等腰梯形ABCD中，＝2，点E是线段的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝ ． （8）在平行四边形ABCD中，E，F分别为边BC，CD的中点， 若＝x＋y(x，y∈R)，则x－y＝ ． 典例剖析03 共线定理的应用 （1）设e1与e2是两个不共线向量，＝3e1＋2e2，＝ke1＋e2，＝3e1－2ke2，若A，B，D三点共线，则k的值为________． （2）设两向量a与b不共线且ka＋b和a＋kb反向共线，则k的值为________． （3）在四边形ABCD中，＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，则四边形ABCD的形状是(　　) A．矩形