专题07三角形的计算与证明-2023年中考数学大题高分秘籍【江苏专用】

2023年中考数学大题高分秘籍（江苏专用） 专题07三角形的计算与证明 【方法揭秘】揭示思想方法，提升解题效率 1. 全等三角形的性质与判定 （1） 全等三角形的性质： 全等三角形的对应边相等，对应角相等； 全等三角形的周长相等，面积相等； 全等三角形对应的中线、高线、角平分线、中位线都相等． （2） 全等三角形的判定定理： ①边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）； ②边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）； ③角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）； ④角角边定理：有两角和它们所对的任意一边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角角边”或“AAS”）； ⑤对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有HL定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）． （3）判定两个三角形全等的思路 （4）全等三角形中常见的辅助线： ①把三角形一边的中线延长，把分散条件集中到同一个三角形中是解决中线问题的基本规律． ②证明一条线段等于两条线段的和，可采用“截长法”或“补短法”，这些问题经常用到全等三角形来证明． 2. 等腰三角形与等边三角形 （1） 等腰三角形的性质： 性质定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）． 推论：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边，即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合． （2） 等腰三角形的判定 判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【简称：等角对等边】 说明：①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法． ②等腰三角形的判定和性质互逆； ③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未来底边的中线； ④判定定理在同一个三角形中才能适用． （3） 等边三角形的性质 ①等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形． ②等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°． 等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴． （4）等边三角形的判定 ①由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形． ②）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形． ③判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 说明：在证明一个三角形是等边三角形时，若已知或能求得三边相等则用定义来判定；若已知或能求得三个角相等则用判定定理1来证明；若已知等腰三角形且有一个角为60°，则用判定定理2来证明． 4.直角三角形与勾股定理 （1）定义：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形． （2）性质：①直角三角形两锐角互余； ②在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半； ③在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半． （3）判定：①两个内角互余的三角形是直角三角形； ②三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形． （4）勾股定理：直角三角形的两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即：a2+b2=c2． （5）勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边a、b、c有关系：a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形． 5.相似三角形性质与判定 （1）定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形，相似三角形对应边的比叫做相似比． （2）性质： ①相似三角形的对应角相等； ②相似三角形的对应线段（边、高、中线、角平分线）成比例； ③相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方． （3）判定： ①有两角对应相等，两三角形相似； ②两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似； ③三边对应成比例，两三角形相似； ④两直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似． （4） 相似基本模型： 【专项突破】深挖考点考向，揭示内涵实质 考向一、全等三角形的性质与判定 1．（2022·江苏盐城·盐城市第四中学（盐城市艺术高级中学、盐城市逸夫中学）校考模拟预测）如图，已知点，，，在一条直线上，，，． (1)求证 (2)若，，求的长． 2．（2021·江苏常州·常州实验初中校考二模）如图，点C、E、F、B在同一直线上，点A、D在BC异侧，ABCD，AE＝DF，∠A＝∠D． (1)求证：AB＝CD； (2)若AB＝CF，∠B＝40°，求∠D的度数． 3．（2022·江苏南通·统考二模）在①DE＝BC，②，③AE＝AC这三个条件中选择其中一个，补充在下面的问题中，并