专题05反比例函数的应用及综合问题-2023年中考数学大题高分秘籍【江苏专用】

2023年中考数学大题满分攻略（江苏专用） 专题05反比例函数的应用及综合问题 【方法揭秘】揭示思想方法，提升解题效率 1.反比例函数的图象与性质注意问题 （1）当k>0时，函数的图象在第一、三象限，在每个象限内，曲线从左向右下降，也就是在每个象限内，y随x的增大而减小． （2）当k<0时，函数的图象在第二、四象限，在每个象限内，曲线从左向右上升，也就是在每个象限内，y随x的增大而增大． （3）双曲线是由两个分支组成的，一般不说两个分支经过第一、三象限（或第二、四象限），而说图象的两个分支分别在第一、三象限（或第二、四象限）． 2.反比例函数解析式及点在反比例图象上 （1）反比例函数的解析式（k≠0）中，只有一个待定系数k，确定了k值，也就确定了反比例函数，因要确定反比例函数的解析式，只需给出一对x，y的对应值或图象上一个点的坐标，代入解析式即可． （2）确定点是否在反比例函数图象上的方法： ①把点的横坐标代入解析式，求出y的值，若所求值等于点的纵坐标，则点在图象上；若所求值不等于点的纵坐标，则点不在图象上． ②把点的横、纵坐标相乘，若乘积等于k，则点在图象上，若乘积不等于k，则点不在图象上． 3.反比例函数与一函数关系及面积问题 （1） 三角形的面积与k的关系：因为反比例函数中的k有正负之分，所以在利用解析式求矩形或三角形的面积时，都应加上绝对值符号．若三角形的面积为|k|，满足条件的三角形的三个顶点分别为原点，反比例函数图象上一点及过此点向坐标轴所作垂线的垂足． （2） 面积常见类型： 当一次函数与反比例函数结合时，可通过面积作和或作差的形式来求解． 如图①，S△ABC=2S△ACO=|k|； 如图②，S△AOB=S△AOC+S△BOC=+=； 如图③，S△AOB=S△AOC–S△BOC=–=． （3）反比例函数与一次函数综合的主要题型： ①利用k值与图象的位置的关系，综合确定系数符号或图象位置； ②已知直线与双曲线表达式求交点坐标； ③用待定系数法确定直线与双曲线的表达式； ④应用函数图象性质比较一次函数值与反比例函数值的大小等． 解题时，一定要灵活运用一次函数与反比例函数的知识，并结合图象分析、解答问题． 4.反比例函数的应用 用反比例函数解决实际问题的步骤 （1）审：审清题意，找出题目中的常量、变量，并理清常量与变量之间的关系； （2）设：根据常量与变量之间的关系，设出函数解析式，待定的系数用字母表示； （3）列：由题目中的已知条件列出方程，求出待定系数； 4.反比例函数的综合问题 （1）应用类综合题 能够从实际的问题中抽象出反比例函数这一数学模型，是解决实际问题的关键一步，培养了学生的建模能力和从实际问题向数学问题转化的能力．在解决这些问题的时候我们还用到了反比例函数的图象和性质、待定系数法和其他学科中的知识． （2）数形结合类综合题 利用图象解决问题，从图上获取有用的信息，是解题的关键所在．已知点在图象上，那么点一定满足这个函数解析式，反过来如果这点满足函数的解析式，那么这个点也一定在函数图象上．还能利用图象直接比较函数值或是自变量的大小．将数形结合在一起，是分析解决问题的一种好方法． 【专项突破】深挖考点考向，揭示内涵实质 考向一、反比例函数图象与性质 1．（2022·江苏南京·二模）已知反比例函数的图象经过点． （1）求反比例函数的解析式； （2）当且时，直接写出的取值范围． 2．（2021·江苏盐城·统考二模）（1）画出反比例函数的大致图象，结合图象回答： （2）当时，的值； （3）当时，的取值范围； （4）当且时，的取值范围． 3．（2020·江苏盐城·统考一模）如图，A(8，6)是反比例函数在第一象限图像上一点，连接OA，过A作AB//x轴，截取AB=OA(B在A右侧)，连接OB，交反比例函数的图像于点C． (1)求反比例函数的表达式； (2)求点B的坐标及OB所在直线解析式； (3)求△OAC的面积． 4．（2021·江苏无锡·统考一模）九年级某数学兴趣小组在学习了反比例函数的图像和性质后，进一步研究了函数的图像与性质，其探究过程如下： （1）绘制函数图像，如图1 ①列表；下表是x与y的几组对应值，其中； ②描点：根据表中各组对应值(x，y)在平面直角坐标系中描出了各点； ③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图像，请你把图像补充完整； （2）通过观察图1，写出该函数的两条性质：①_______________；②_______________； （3）①观察发现：如图2，若直线y=2交函数的图像于A，B两点，连接OA，过点B作BC//OA交x轴于点C，则； ②探究思考：将①的直线y=2改为直线y=a(a>0)，其他条件不变，则； ③类比猜想：若直线y=a