专题03 【五年中考+一年模拟】几何压轴题-备战2023年长春中考数学真题模拟题分类汇编

专题03 几何压轴题 1．（2022•长春）【探索发现】在一次折纸活动中，小亮同学选用了常见的纸，如图①，矩形为它的示意图．他查找了纸的相关资料，根据资料显示得出图①中．他先将纸沿过点的直线折叠，使点落在上，点的对应点为点，折痕为；再沿过点的直线折叠，使点落在上，点的对应点为点，折痕为；然后连结，沿所在的直线再次折叠，发现点与点重合，进而猜想． 【问题解决】小亮对上面的猜想进行了证明，下面是部分证明过程： 证明：四边形是矩形， ． 由折叠可知，，． ． 请你补全余下的证明过程． 【结论应用】 （1）的度数为 　　度，的值为 　　； （2）在图①的条件下，点在线段上，且，点在线段上，连结、，如图②．设，则的最小值为 　　．（用含的代数式表示） 2．（2021•长春）实践与探究 操作一：如图①，已知正方形纸片，将正方形纸片沿过点的直线折叠，使点落在正方形的内部，点的对应点为点，折痕为，再将纸片沿过点的直线折叠，使与重合，折痕为，则　　度． 操作二：如图②，将正方形纸片沿继续折叠，点的对应点为点．我们发现，当点的位置不同时，点的位置也不同．当点在边的某一位置时，点恰好落在折痕上，则　　度． 在图②中，运用以上操作所得结论，解答下列问题： （1）设与的交点为点．求证：； （2）若，则线段的长为 　　． 3．（2020•长春）【教材呈现】如图是华师版八年级下册数学教材第121页的部分内容． 1．把一张矩形纸片如图那样折一下，就可以裁出正方形纸片，为什么？ 【问题解决】如图①，已知矩形纸片，将矩形纸片沿过点的直线折叠，使点落在边上，点的对应点为，折痕为，点在上．求证：四边形是正方形． 【规律探索】由【问题解决】可知，图①中的△为等腰三角形．现将图①中的点沿向右平移至点处（点在点的左侧），如图②，折痕为，点在上，点在上，那么还是等腰三角形吗？请说明理由． 【结论应用】在图②中，当时，将矩形纸片继续折叠如图③，使点与点重合，折痕为，点在上．要使四边形为菱形，则　　． 4．（2019•长春）教材呈现：如图是华师版九年级上册数学教材第78页的部分内容． 例2 如图，在中，、分别是边、的中点，、相交于点，求证：． 证明 连结． 请根据教材提示，结合图①，写出完整的证明过程． 结论应用：在中，对角线、交于点，为边的中点，、交于点． （1）如图②，若为正方形，且，则的长为 　　． （2）如图③，连接交于点，若四边形的面积为，则的面积为 　　． 5．（2018•长春）在正方形中，是边上一点（点不与点、重合），连接． 【感知】如图①，过点作交于点．易证．（不需要证明） 【探究】如图②，取的中点，过点作交于点，交于点． （1）求证：． （2）连接，若，则的长为　　． 【应用】如图③，取的中点，连接．过点作交于点，连接、．若，则四边形的面积为　　． 6．（2022•绿园区校级一模）教材呈现下面是华师版九年级上册数学教材第76页的部分内容． 如图，是矩形的边上的一点，干点，，，，证明，并计算点到直线的距离（结果保留根号）． 结合图①，完成解答过程． 拓展 （1）在图①的基础上，延长线段交边于点，如图②，则的长为 　　； （2）如图③，、是矩形的边、上的点，连结，将矩形沿翻折，使点的对称点与点重合，点的对称点为点．若，，则的长为 　　． 7．（2022•绿园区模拟）感知：如图1，有一张矩形纸条，点，分别在边，上，现将矩形纸条沿折叠，使点，分别落在边上方的点，上，若边与边交于点，易证：为等腰三角形（不需要证明） 探究：如图2，将两张长为8，宽为3的矩形纸条交叉叠放，使一组对角的顶点重合，其重叠部分是四边形．求四边形的周长． 应用：如图，在矩形中，，，将矩形绕按顺时针方向旋转度得到，此时直线、直线分别与直线相交于点、．当，且时，线段的长是 　　． 8．（2022•长春模拟）如图，是的中线，点是上一点，过点作的平行线，过点作的平行线，两平行线交于点，连结． 【方法感知】如图①，当点与点重合时，易证：．（不需证明） 【探究证明】如图②，当点与点不重合时，求证：四边形是平行四边形． 小新同学受到【方法感知】中的启发，经过思考后延长交于点． 请完成小新同学的证明过程． 【结论应用】如图③，当，时，的延长线交于点，且点为中点． （1）　　． （2）当时，的长为 　　． 9．（2022•长春模拟）如图①，在中，，过点作直线交边于点，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，点为的中点，连结、． 【证明推断】求证：． 小明给出的思路：先分别延长、交于点，再证明．请你根据小明的思路完成证明过程． 【拓展应用】如图②，当，时，解决下列问题： （1）的大小为 　　度． （2）的值为 　　． 10．（2022•长春一模）（1）如图①，在中，，，，点是边上的一点．将沿翻折，点的对应点落在上