增分专练(五) 数列求和及数列的综合应用（专题微练Word）-【赢在微点·考前顶层设计】2023老高考数学文科大二轮专题复习

增分专练(五)　数列求和及数列的综合应用 A级　基础达标 一、选择题 1.数列{an}满足2an+1=an+an+2,且a4,a4 040是函数f (x)=x2-8x+3的两个零点,则a2 022的值为(A) A.4 B.-4 C.4 040 D.-4 040 解析　因为a4,a4 040是函数f (x)=x2-8x+3的两个零点,即a4,a4 040是方程x2-8x+3=0的两个根,所以a4+a4 040=8。又2an+1=an+an+2,所以数列{an}是等差数列,所以a4+a4 040=2a2 022=8,所以a2 022=4。 2.已知函数f (n)=且an=f (n)+f (n+1),则a1+a2+a3+…+a8等于(C) A.-16 B.-8 C.8 D.16 解析　当n为奇数时,n+1为偶数,则an=n2-(n+1)2=-2n-1,所以a1+a3+a5+a7=-(3+7+11+15)=-36。当n为偶数时,n+1为奇数,则an=-n2+(n+1)2=2n+1,则a2+a4+a6+a8=5+9+13+17=44,所以a1+a2+a3+…+a8=-36+44=8。 3.已知函数f (x)=xa的图象过点(4,2),令an=(n∈N*),记数列{an}的前n项和为Sn,则S2 022等于(B) A.+1 B.-1 C.-1 D.+1 解析　函数f (x)=xa的图象过点(4,2),则4a=2,解得a=,得f (x)=,an===-,则S2 022=(-1)+(-)+…+(-)=-1+。 4.在数列{an}中,a1=3,am+n=am+an(m,n∈N*),若a1+a2+a3+…+ak=135,则k等于(B) A.10 B.9 C.8 D.7 解析　令m=1,由am+n=am+an可得an+1=a1+an,所以an+1-an=3,所以{an}是首项为a1=3,公差为3的等差数列,an=3+3(n-1)=3n,所以a1+a2+a3+…+ak===135,整理可得k2+k-90=0,解得k=9或k=-10(舍去)。 5.随着新一轮科技革命和产业变革持续推进,以数字化、网络化、智能化以及融合化为主要特征的新型基础设施建设越来越受到关注。5G基站建设就是“新基建”的众多工程之一,截至2020年底,我国已累计开通5G基站超70万个,未来将进一步完善基础网络体系,稳步推进5G网络建设,实现主要城区及部分重点乡镇5G网络覆盖。2021年1月计划新建设5万个5G基站,以后每个月比上一个月多建设1万个,预计我国累计开通500万个5G基站时要到(B) A.2022年12月 B.2023年2月 C.2023年4月 D.2023年6月 解析　每个月开通5G基站的个数是以5为首项,1为公差的等差数列,设预计我国累计开通500万个5G基站需要n个月,则70+5n+×1=500,化简整理得,n2+9n-860=0,解得n≈25.17或n≈-34.17(舍去),所以预计我国累计开通500万个5G基站需要26个月,也就是到2023年2月。 6.在数列{an}中,已知an=n2+λn,n∈N*,则“a1<a2”是“{an}是单调递增数列”的(C) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析　若在数列{an}中,已知an=n2+λn,n∈N*,a1<a2,则1+λ<4+2λ,解得λ>-3。若数列{an}是单调递增数列,则对任意的n∈N*都满足an+1-an=(n+1)2+λ(n+1)-n2-λn=2n+1+λ>0,所以λ>-1-2n,即λ>(-1-2n)max=-3,因此,“a1<a2”是“{an}是单调递增数列”的充要条件。 7.在等差数列{an}中,a3+a5=a4+7,a10=19,则数列{ancos nπ}(n∈N*)的前2 022项的和为(C) A.1 011 B.1 010 C.2 022 D.2 020 解析　由题意得a3+a5=2a4=a4+7,解得a4=7,所以公差d===2,则a1=a4-3d=7-3×2=1,所以an=2n-1,设bn=ancos nπ,则b1+b2=a1cos π+a2cos 2π=-a1+a2=2,b3+b4=a3cos 3π+a4cos 4π=-a3+a4=2,…,所以数列{ancos nπ}(n∈N*)的前2 022项的和S2 022=(b1+b2)+(b3+b4)+…+(b2 021+b2 022)=2×1 011=2 022。 8.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,公差d≠0,且≤1。设b1=S2,bn+1=S2n+2-S2n,n∈N*,下列等式不可能成立的是(D) A.2a4=a2+a6 B.2b4=b2+b6 C.=a2a8 D.=b2b8 解析