5.1.1变化率问题（第二课时）-2022-2023学年高二数学同步课件(人教A版2019选择性必修第二册)

第五章 一元函数的导数及应用 5.1.1 变化率问题 第二课时 一 二 三 学习目标 会求函数在某一点附近的平均变化率，理解函数的平均变化率，瞬时变化率及瞬时速度的概念 会求抛物线的切线斜率，体会数学的极限思想 通过本节课的学习，培养起数学抽象、逻辑推理及数学运算的核心素养. 学习目标 复习回顾 问题1 高台跳水运动员的速度 1.平均速度 时间段[t0,t0+△t]内的平均速度 2.瞬时速度 当t=t0时的瞬时速度 物体运动的平均速度 物体运动的瞬时速度 无限逼近 取极限 瞬时速度的本质是平均速度的极限. 几何意义？ 新课导入 如果一条直线与一个圆只有一个公共点，那么这条直线与这个圆相切. 对于一般的曲线C，如何定义它的切线呢？ 追问1：如果一条直线与一条曲线只有一个公共点，那么这条直线与这条曲线一定相切吗？ 追问2：如果一条直线与一条曲线相切，那么它们一定只有一个公共点吗？ 不一定 不一定 因此，我们不能像研究直线和圆的位置关系那样，通过交点的个数来定义相切了. 新知探究：抛物线的切线斜率 下面我们以抛物线为例进行研究. 问题1：如何定义抛物线 f (x)=x2 在点 P0(1,1) 处的切线？ x y O f(x)＝x2 1 1 2 2 3 4 P0 与研究瞬时速度类似 在点P0(1,1)的附近任取一点P(x，x2) 考察抛物线f(x)＝x2的割线P0P的变化情况 我们发现，当点P__________________，割线P0P____________________位置. 这个确定位置的直线P0T称为抛物线f(x)＝x2在点P0(1,1)处的切线． 观察 如图，当点P(x, x2)沿着抛物线f(x)=x2趋近于点P0(1, 1)时，割线P0P有什么变化趋势? T 新知探究：抛物线的切线斜率 无限趋近于一个确定的 无限趋近于点P0时 问题2：我们知道斜率是确定直线的一个要素，如何求抛物线 f (x)=x2 在点 P0(1,1) 处的切线的斜率呢？ 新知探究：抛物线的切线斜率 切线位置 割线位置 无限逼近 切线斜率 割线斜率 无限逼近 取极限 记点P的横坐标x＝1＋Δx，则点P的坐标即为(1＋Δx，(1＋Δx)2).于是割线P0P的斜率 Δx→0时，斜率kP0P→2. 新知探究：抛物线的切线斜率 我们可以用割线P0P的斜率k近似地表示切线P0T的斜率k0，并且可以通过不断缩短横坐标间隔|∆x|来提高近似表示的精确度，得到如下表格： ∆x <0 ∆x >0 ∆x ∆x 通过观察可得，当∆x无限趋近于0，即无论x从小于1的一边，还是从大于1的一边无限趋近于1时，割线P0P的斜率k近都无限趋近于2. 概念形成 事实上，由 可以发现，当∆x在无限趋近于0时， 无限趋近于2，我们把2叫做“当△x无限趋近于0时， 的极限”，记为 从几何图形上看，当横坐标间隔| Δx |无限变小时， 当点P无限趋近于点P0时，割线P0P无限趋近于点P0处的切线P0T . 割线P0P的斜率k 无限趋近于点P0处的切线的斜率k0. 因此，切线P0T 的斜率k0=2. x y O 1 2 1 2 3 4 P P0 T 抛物线的割线及切线的斜率 1.割线的斜率 2.切线的斜率 点P0(x0, f(x0))与P两点间的斜率 函数图象在点P0(x0, f(x0))处的斜率 概念形成 x y O 1 2 1 2 3 4 P P0 T 问题3：你能用上述方法，求抛物线 f(x)=x2在点 P0(2,4) 处的切线P0T 的斜率吗？ 知识应用 x y O 1 2 1 2 3 4 P0 P 记点P的横坐标x＝2＋Δx，则点P的坐标即为 (2＋Δx，(2＋Δx)2).于是割线P0P的斜率 故抛物线在点P0(2，4)处的切线斜率为4. 知识应用 例1 求抛物线f(x)=x2+2x在点P (1, 3)处切线的斜率. 变式 求抛物线f(x)=x2+2x在点P (1, 3)处的切线方程. 巩固练习 课本P64 1. 你认为应该怎样定义抛物线f(x)=x2在点(x0, x02)处的切线? 试求抛物线f(x)=x2在点(－1, 1)处切线的斜率. 巩固练习 课本P64 2. 求抛物线f(x)=x2+1在点(0, 1)处的切线方程. 思考 观察问题1中的函数