6.1.1 菱形的性质与判定（1） -(配套课件)【初中学霸作业本】2022-2023学年八年级下册数学 鲁教版

第六章 特殊平行四边形 6.1.1 菱形的性质与判定（1） 学习目标 1.理解菱形的概念，了解它与平行四边形之间的关系. 2.经历菱形性质定理的探索过程.（重点） 3.能够用综合法证明菱形的性质定理.（难点） 新课导入 下面几幅图中都含有一些平行四边形.观察这些平行四边形，你能发现它们有什么样的共同特征吗？ 由上图中的这些平行四边形，你能发现它们有什么共同点吗？从边的角度想一想。 平行四边形 菱形 想一想： 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 归纳 菱形是特殊的平行四边形. 菱形具有一般平行四边形的所有性质. 平行四边形不一定是菱形. 知识点1 菱形的定义 知识讲解 用菱形纸片折一折，回答下列问题： （1）菱形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？对称轴之间有什么位置关系？ （2）菱形中有哪些相等的线段？ 做一做： 通过上面的折纸活动，我们可以发现： （1）菱形是轴对称图形，有两条对称轴. （2）菱形四条边都相等. （3）菱形的对角线互相垂直. 菱形是特殊的平行四边形，它除具有平行四边形的所有性质外，还有平行四边形所没有的特殊性质： 知识点2 菱形的性质 定理 菱形的四条边都相等. 定理 菱形的对角线互相垂直. 知识讲解 证明菱形的性质： 已知：如图，在菱形ABCD中，AB=AD，对角线AC 与BD相交于点O. 求证:(1）AB = BC = CD =AD；（2）AC⊥BD. A B C D O 证明：（1）∵ 四边形ABCD是菱形， ∴ AB = CD，AD = BC（菱形的对边相等）. 又∵AB=AD， ∴ AB = BC = CD =AD. 已知：如图，在菱形ABCD中，AB=AD，对角线AC 与BD相交于点O. 求证:(1）AB = BC = CD =AD；（2）AC⊥BD. A B C D O 证明：（2）∵AB=AD，∴△ABD是等腰三角形. 又∵四边形ABCD是菱形，∴OB=OD. 在等腰三角形ABD中， ∵OB=OD， ∴AO⊥BD，即AC⊥BD. 例1 如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O， ∠BAD=60°，BD=2，求菱形的边长AB和对角线AC的长. 解：∵四边形ABCD是菱形， ∴ AB = BD(菱形的四条边相等)， ∴ AC⊥BD(菱形的对角线互相垂直)， OB=OD= BD = ×2=1(菱形的对角线互相平分). 在等腰三角形ABC中，∵∠BAD=60°， ∴△ABD是等边三角形. ∴AB = BD = 2. A C D O B 例题解读 例1 如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O， ∠BAD=60°，BD=2，求菱形的边长AB和对角线AC的长. A C D O B 在RtΔAOB中，由勾股定理，得 OA2+OB2=AB2， ∴ OA = = = ∴ AC = 2OA = （菱形的对角线互相平分）. 总结归纳 随 堂 小 测 1.菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是 （ ） A.对角相等 B.对边相等 C.对角线互相垂直 D.对角线相等 C 2.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交 于点O. 已知AB=5cm，AO=4cm，求BD的长. 解：∵四边形 ABCD 是菱形， ∴AC⊥BD（菱形的对角线互相垂直）. 在Rt△AOB中，由勾股定理，得 OA2 + OB2 = AB2， ∴BO = . ∵四边形ABCD 是菱形， ∴BD=2BO= 2×3=6（菱形的对角线互相平分）. ∴BD 的长为 6 cm. 2.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交 于点O. 已知AB=5cm，AO=4cm，求BD的长. 3.已知：如图，在菱形ABCD 中，∠BAD=2∠B.求证：△ABC是等边三角形. 证明：∵四边形ABCD是菱形 ∴AD∥BC，∴∠BAD+∠B=180°. 又∵∠BAD=2∠B, ∴∠B=60°. ∵AB =BC，∴△ABC是等边三角形. 4.已知：如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD 相交于点O.求证：AC，CA分别平分∠BAD和∠BCD，BD，DB分别平分∠ABC和∠ADC