6.3.2 正方形的性质与判定（2） -(配套课件)【初中学霸作业本】2022-2023学年八年级下册数学 鲁教版

6.3.2 正方形的判定 第六章 特殊平行四边形 学习目标 1.探索并证明正方形的判定，并了解正方形与平行四边形、 矩形、菱形之间的联系和区别 （重点、难点） 2.会利用正方形的判定进行相关计算。（难点） 活动 如图，将一张长方形纸对折两次，然后剪下一个角， 打开.怎样剪才能剪出一个正方形？ 新课导入 满足什么条件的矩形是正方形？ (1)一组邻边相等 一组邻边相等 (2)对角线互相垂直 对角线互相垂直 议一议： 满足什么条件的菱形是正方形？ (1)一个角是直角 一个角是直角 (2)对角线相等 对角线相等 议一议： 求证：对角线相等的菱形是正方形. D A B C O 已知：如图，菱形ABCD 中， AC=BD. 求证：四边形ABCD是正方形. 证明： ∵四边形ABCD是菱形， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=AD且AC=BD. ∴∠DAB=90°. ∴四边形ABCD是矩形. ∴四边形ABCD是正方形. 试一试： 求证：对角线垂直的矩形是正方形. 已知：如图，矩形ABCD 中， AC⊥BD. 求证：四边形ABCD是正方形. 证明： ∵四边形ABCD是矩形 ∴四边形ABCD是平行四边形，∠DAB=90°. D A B C O 且AC⊥BD. ∴ AB=AD. ∴OB=OD ， ∴四边形ABCD是正方形 试一试： 求证：有一个角是直角的菱形是正方形. 已知：如图，菱形ABCD 中，∠A=90°. 求证：四边形ABCD是正方形. 证明： ∵四边形ABCD是菱形 ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴AD=AB且∠A=90°. ∴四边形ABCD是正方形. D A B C 试一试： (1) 对角线相等的菱形是正方形； (2) 对角线垂直的矩形是正方形； (3) 有一个角是直角的菱形是正方形. 知识讲解 知识点1 正方形的判定 例1 已知：如图，在矩形ABCD 中，BE平分∠ABC，CE 平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE.求证：四边形BECF是正方形. 证明： ∵ BF∥CE，CF∥BE， ∴四边形BECF是平行四边形. D A B C E F ∴∠ABC=90°,∠DCB=90°. ∵四边形ABCD是矩形， 又∵BE 平分∠ABC，CE 平分∠DCB. ∴∠EBC=∠ECB， ∴EB=EC， ∴四边形BECF是菱形. 在△EBC中， ∵∠EBC=45°,∠ECB=45°， ∴∠BEC=90°. ∴四边形BECF是正方形. ∴∠EBC= ∠ABC=45°,∠ECB= ∠DCB=45°. 知识点2 中点四边形 顺次连接任意四边形各边中点所组成的四边形叫做中点四边形. 知识讲解 如图，在四边形ABCD 中，E，F，G，H 分别是AB，BC，CD，DA 的中点，则四边形EFGH 就是中点四边形. 特殊四边形的中点四边形 平行四边形的中点四边形是平行四边形 菱形的中点四边形是矩形 矩形的中点四边形是菱形 正方形的中点四边形是正方形 等腰梯形的中点四边形是菱形 直角梯形的中点四边形是平行四边形 梯形的中点四边形是平行四边形 特殊四边形的中点四边形 对角线垂直的四边形的中点四边形是矩形 对角线相等的四边形的中点四边形是菱形 对角线既相等又垂直的四边形的中点四边形是正方形 对角线既不相等又不垂直的四边形的中点四边形是平行四边形 决定中点四边形形状的主要因素是原四边形的对角线的长度和位置关系. 原四边形 对角线关系 不相等、 不垂直 相等 垂直 相等且 垂直 中点四边形 形状 平行四边形 菱形 矩形 正方形 归纳总结 三个角是直角 四条边相等 一个角是直角 或对角线相等 一组邻边相等 或对角线垂直 一组邻边相等 或对角线垂直 一个角是直角 或对角线相等 一个角是直角且一组邻边相等 总结归纳 随 堂 小 测 1.添加下列一个条件，能使矩形ABCD成为正方形的是（　　） A．AB＝CD B．AC⊥BD C．∠BAD＝90° D．AC＝BD B 2.如图，已知四边形ABCD是菱形，从①AB＝AD，②AC＝BD，③∠ABC＝∠ADC中选择一个作为条件后，使四边形ABCD成为正方形，则应该选择的是________．（仅填序号） ② 3.如图，顺次连接四边形ABCD各边中点得到 四边形EFGH，要使四边形 EFGH为矩形， 应添加的条件是( ) A.AB∥DC B. AC=BD C. AC⊥BD D. AB=DC C 4.如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，DE∥AC．CE∥BD．（1）连接OE，求证：BC＝OE；（2）当∠ABC等于多少