6.2.2 矩形的性质与判定（2） -(配套课件)【初中学霸作业本】2022-2023学年八年级下册数学 鲁教版

第六章 特殊平行四边形 6.2.2 矩形的性质与判定（2） 学习目标 1.经历矩形判定定理的探索过程，理解并掌握矩形的判定方 法.（重点） 2.能应用矩形判定解决简单的证明题和计算题.(难点） 新课导入 如图，是一个平行四边形活动框架，拉动一对不相邻的顶点时，平行四边形的形状会发生变化. α α α 思考： 问题1 随着∠α 的变化两条对角线的长度将发生怎样的变化？ 猜想：当∠α= 90°时，平行四边形是矩形. 问题2 当两条对角线的长度相等时平行四边形有什么特征？由此你能得到一个怎样的猜想？ 猜想：当两条对角线相等时，平行四边形是矩形. 知识讲解 知识点1 矩形的判定（1） 对角线相等的平行四边形是矩形. 几何语言： 如图，在平行四边形ABCD中， ∵AC=BD， ∴平行四边形ABCD是矩形. A B D C 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB = DC,AB ∥ DC， ∴∠ABC + ∠DCB = 180°. 又∵BC = CB，AC = DB， ∴ △ABC≌△DCB . ∴∠ABC = ∠DCB = 90°. ∴ □ ABCD是矩形（矩形的定义）. 已知：如图，在□ABCD中，AC ，DB是它的两条对角线， AC=DB. 求证：□ABCD是矩形. A B D C 我们知道，矩形的四个角都是直角.反过来，一个四边形至少有几个角是直角时，这个四边形就是矩形呢？请证明你的结论， 并与同伴交流. 新课导入 想一想： A B C D 定理 有三个角是直角的四边形是矩形. 几何语言： 如图，在四边形ABCD中， ∵ ∠A=∠B=∠C=90°， ∴四边形ABCD是矩形. 知识点2 矩形的判定（2） 知识讲解 证明:∵ ∠A=∠B=∠C=90°， ∴∠A+∠B=180°，∠B+∠C=180°. ∴AD∥BC，AB∥CD. ∴四边形ABCD是平行四边形. ∴四边形ABCD是矩形. 已知：如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°. 求证：四边形ABCD是矩形. A B C D 你有什么方法检查你家（或教室）刚安装的门框是不是矩形？如果仅有一根较长的绳子，你怎么检查？请说明检查方法的合理性，并与同伴交流. 先用绳子测量门框的对边是否相等，若相等，则是平行四边形；再用绳子测量门框的对角线是否相等，若相等，可确定门框是矩形.依据：对角线相等的平行四边形是矩形. 议一议： 例1 如图，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O ， △ABO是等边三角形， AB=4，求□ABCD的面积. A B D C O 解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA= OC，OB = OD. 又∵△ABO是等边三角形， ∴OA= OB=AB= 4，∴OA= OB=OC = OD= 4. ∴AC= BD= 2OA = 2×4 = 8. ∴□ABCD是矩形 （对角线相等的平行四边形是矩形）. ∴∠ABC=90°（矩形的四个角都是直角） . 例题解读 例1 如图，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O ， △ABO是等边三角形， AB=4，求□ABCD的面积. A B D C O 在Rt△ABC中,由勾股定理,得 AB 2 + BC 2 =AC 2 , ∴BC= . ∴S□ABCD=AB·BC=4× = . 例2 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为E，求证：四边形ADCE为矩形． 证明：在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC， ∴∠BAD＝∠DAC，即∠DAC＝ ∠BAC. 又∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线， ∴∠MAE＝∠CAE＝ ∠CAM, ∴∠DAE＝∠DAC＋∠CAE＝ (∠BAC＋∠CAM)＝90°. 例2 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为E，求证：四边形ADCE为矩形． 又∵AD⊥BC，CE⊥AN， ∴∠ADC＝∠CEA＝90°, ∴四边形ADCE为矩形（有三个角是直角 的四边形是矩形）． 例3 如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC上一点，以AB，BD为邻边作平行四边形ABDE，连接AD ， EC. （1）求证：△ADC≌△ECD； （2）若BD=CD，求证：四边形ADCE是矩形. 证明：（1