专题20 分类讨论思想在压轴题中的应用-【聚焦压轴】2023届中考数学压轴大题专项突破

专题20 分类讨论思想在压轴题中的应用 分类讨论思想是一个非常重要的数学思想，在中考数学压轴题中考查频繁，例如在解决中考压轴题中的存在性问题时，要用到分类讨论思想： 1.在解决等腰三角形存在性问题时，需要讨论腰和底的多种情况； 2.在解决直角三角形存在性问题时，需要对直角的情况进行讨论； 3.在解决平行四边形和矩形、菱形、正方形的存在性时，需要对邻边或对边的情况进行讨论； 4.在解决相似三角形存在性问题时，需要对对应边和对应角进行分类讨论； 5.压轴题中其他的问题，例如线段的数量和位置关系等，有时也需要进行分类讨论。 （2022·辽宁阜新·统考中考真题）如图，已知二次函数的图像交轴于点，，交轴于点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)如图，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿线段向点运动，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿线段向点运动，点，同时出发．设运动时间为秒（）．当为何值时，的面积最大？最大面积是多少？ (3)已知是抛物线上一点，在直线上是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． （1）用待定系数法可求得二次函数的表达式为； （2）过点作轴于点，设面积为，由，，可得，，即得，由二次函数性质可得当秒时，的面积最大，求得其最大面积； （3）由，得直线解析式为，设，，分三种情况进行讨论求解． 【答案】(1) (2)当时，的面积最大，最大面积是 (3)存在，的坐标为或或或 【详解】（1）将点，代入中， 得， 解这个方程组得， 二次函数的表达式为； （2）过点作轴于点，如图： 设面积为， 根据题意得：，． ， ， 在中，令得， ， ， ． ， ， ， 当时，的面积最大，最大面积是； （3）存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形，理由如下： 由，得直线解析式为， 设，，又，， 当，是对角线，则，的中点重合， ， 解得与重合，舍去或， ； 当，为对角线，则，的中点重合， ， 解得舍去或， ； 当，为对角线，则，的中点重合， ， 解得或， 或， 综上所述，的坐标为或或或． 本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，平行四边形的性质及应用，解题的关键是用含字母的式子表示相关点的坐标和相关线段的长度． （2022·湖南湘潭·统考中考真题）已知抛物线． (1)如图①，若抛物线图象与轴交于点，与轴交点．连接． ①求该抛物线所表示的二次函数表达式； ②若点是抛物线上一动点（与点不重合），过点作轴于点，与线段交于点．是否存在点使得点是线段的三等分点？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (2)如图②，直线与轴交于点，同时与抛物线交于点，以线段为边作菱形，使点落在轴的正半轴上，若该抛物线与线段没有交点，求的取值范围． （1）①直接用待定系数法求解；②先求出直线AB的解析式，设点M(m，m-3)点P（m，m2-2m-3）若点是线段的三等分点，则或，代入求解即可； （2）先用待定系数法求出n的值，再利用勾股定理求出CD的长为5，因为四边形CDFE是菱形，由此得出点E的坐标．再根据该抛物线与线段没有交点，分两种情况（CE在抛物线内和CE在抛物线右侧）进行讨论，求出b的取值范围． 【答案】(1)①，②存在，点P坐标为(2，-3)或（，-），理由见解析 (2)b<或b> 【详解】（1）①解：把，代入，得 ， 解得：， ∴ ②解：存在，理由如下， 设直线AB的解析式为y=kx+b，把， 代入，得 ， 解得， ∴直线AB的解析式为y=x-3， 设点M(m，m-3)、点P（m，m2-2m-3） 若点是线段的三等分点， 则或， 即或， 解得：m=2或m=或m=3， 经检验，m=3是原方程的增根，故舍去， ∴m=2或m= ∴点P坐标为(2，-3)或（，-） （2）解：把点D（-3，0）代入直线，解得n=4， ∴直线， 当x=0时，y=4，即点C（0，4） ∴CD==5， ∵四边形CDFE是菱形， ∴CE=EF=DF=CD=5， ∴点E（5，4） ∵点在抛物线上， ∴（-3）2-3b+c=0， ∴c=3b-9， ∴， ∵该抛物线与线段没有交点， 分情况讨论 当CE在抛物线内时 52+5b+3b-9<4 解得：b< 当CE在抛物线右侧时， 3b-9>4 解得：b> 综上所述，b<或b> 此题考查了二次函数和一次函数以及图形的综合，解题的关键是数形结合和分情况讨论． 1．（2023·安徽宿州·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点B的坐标为，分别落在x轴和y轴上，将绕点O逆时针旋转，使点B落在y轴上，得到，与相交于点F，反比例函数的图象经过点F，交于点G． (1)求k的值． (2)连接，则图中是否存在与相似的三角形？若存在，请把它们一一找出来，并选其中