专题17 多函数综合问题-【聚焦压轴】2023届中考数学压轴大题专项突破

专题17 多函数综合问题 多函数综合题是指一次函数、反比例函数与二次函数的综合，考查形式多样，包括存在性问题、面积问题、线段和差的最值问题以及角度的问题。在解决此类问题，首先掌握各函数的图像与性质是解决问题的前提。 （2022·贵州黔西·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，经过点的直线AB与y轴交于点．经过原点O的抛物线交直线AB于点A，C，抛物线的顶点为D． (1)求抛物线的表达式； (2)M是线段AB上一点，N是抛物线上一点，当轴且时，求点M的坐标； (3)P是抛物线上一动点，Q是平面直角坐标系内一点．是否存在以点A，C，P，Q为顶点的四边形是矩形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． （1）利用待定系数法求出抛物线的解析式； (2)求出直线AB的表达式为，设，，分当M在N点上方时，．和当M在N点下方时，，即可求出M的坐标； （3）画出图形，分AC是四边形的边和AC是四边形的对角线，进行讨论，利用勾股定理、相似三角形的判定与性质、函数图像的交点、平移等知识点进行解答即可得出答案． 【答案】(1) (2)或或 (3)存在，或或或 【详解】（1）解：∵抛物线过点， ∴，解得， ∴抛物线的表达式为． （2）设直线AB的解析式为：， ∵直线AB经过，， ∴， ∴， ∴直线AB的表达式为． ∵轴，可设，，其中． 当M在N点上方时，． 解得，（舍去）． ∴． 当M在N点下方时， ． 解得，． ∴，． 综上所述，满足条件的点M的坐标有三个，，． （3）存在．满足条件的点Q的坐标有4个．，，，． 理由如下： ①如图，若AC是四边形的边． 当时， ∴拋物线的对称轴与直线AB相交于点． 过点C，A分别作直线AB的垂线交抛物线于点，， ∵，， ∴，，． ∵， ∴． ∴． ∴点与点D重合． 当时，四边形是矩形． ∵向右平移1个单位，向上平移1个单位得到． ∴向右平移1个单位，向上平移1个单位得到． 此时直线的解析式为． ∵直线与平行且过点， ∴直线的解析式为． ∵点是直线与拋物线的交点， ∴． 解得，（舍去）． ∴．当时，四边形是矩形． ∵向左平移3个单位，向上平移3个单位得到． ∴向左平移3个单位，向上平移3个单位得到． ②如图，若AC是四边形的对角线， 当时．过点作轴，垂足为H，过点C作，垂足为K． 可得，． ∴． ∴． ∴． ∵点P不与点A，C重合， ∴和． ∴． ∴． ∴如图，满足条件的点P有两个．即，． 当时，四边形是矩形． ∵向左平移个单位，向下平移个单位得到． ∴向左平移个单位，向下平移个单位得到． 当时，四边形是矩形． ∵向右平移个单位，向上平移个单位得到． ∴向右平移个单位，向上平移个单位得到． 综上，满足条件的点Q的坐标为或或或． 本题主要考查的是二次函数的综合应用，本题主要涉及了待定系数法求函数的解析式、勾股定理，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，点的平移等知识，根据题意画出符合条件的图形、进行分类讨论是解题的关键． （2022·山西·中考真题）综合与探究 如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点P是第一象限内二次函数图象上的一个动点，设点P的横坐标为m．过点P作直线轴于点D，作直线BC交PD于点E (1)求A，B，C三点的坐标，并直接写出直线BC的函数表达式； (2)当是以PE为底边的等腰三角形时，求点P的坐标； (3)连接AC，过点P作直线 ，交y轴于点F，连接DF．试探究：在点P运动的过程中，是否存在点P，使得，若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由． （1）令中y和x分别为0，即可求出A，B，C三点的坐标，利用待定系数法求直线BC的函数表达式； （2）过点C作于点G，易证四边形CODG是矩形，推出，，，再证明，推出，由等腰三角形三线合一的性质可以得出， 则，由P点在抛物线上可得，联立解出m，代入二次函数解析式即可求出点P的坐标； （3）分点F在y轴的负半轴上和点F在y轴的正半轴上两种情况，画出大致图形，当时，，由（2）知，用含m的代数式分别表示出OF，列等式计算即可． 【答案】(1)，点C的坐标为； (2) (3)存在；m的值为4或 【详解】（1）解：由得， 当时，， ∴点C的坐标为． 当时，， 解得． ∵点A在点B的左侧， ∴点A，B的坐标分别为． 设直线BC的函数表达式为， 将，代入得， 解得， ∴直线BC的函数表达式为﹒ （2）解：∵点P在第一象限抛物线上，横坐标为m，且轴于点D， ∴点P的坐标为，， ∴． ∵点B的坐标为，点C的坐标为， ∴，． 过点C作于点G，则． ∵， ∴四边形CODG是矩形， ∴ ，，． ∴． ∵， ∴． ∴，即，   ∴． 在中， ∵， ∴． ∴， ∴ 解得（舍去）， ∴． 当时，﹒ ∴点P的坐标为． （3