专题16 函数的图像变换问题-【聚焦压轴】2023届中考数学压轴大题专项突破

专题16 函数的图像变换问题 函数图像的变换问题的考查一般难度较大，但关键是要理清图像变换前后的解析式的关系，图像变换的规律以二次函数为例： 1．保持y=ax2的形状不变，将其顶点平移到（h，k）处，具体平移方法如下： 2．二次函数平移遵循“上加下减，左加右减”的原则，据此，可以直接由解析式中常数的加或减求出变化后的解析式；二次函数图象的平移可看作顶点间的平移，可根据顶点之间的平移求出变化后的解析式． （2022·湖北恩施·统考中考真题）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与y轴交于点． (1)直接写出抛物线的解析式． (2)如图，将抛物线向左平移1个单位长度，记平移后的抛物线顶点为Q，平移后的抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C．判断以B、C、Q三点为顶点的三角形是否为直角三角形，并说明理由． (3)直线BC与抛物线交于M、N两点（点N在点M的右侧），请探究在x轴上是否存在点T，使得以B、N、T三点为顶点的三角形与相似，若存在，请求出点T的坐标；若不存在，请说明理由． (4)若将抛物线进行适当的平移，当平移后的抛物线与直线BC最多只有一个公共点时，请直接写出拋物线平移的最短距离并求出此时抛物线的顶点坐标． （1）待定系数法求二次函数解析式； （2）分别求得B、C、Q的坐标，勾股定理的逆定理验证即可求解； （3）由，故分两种情况讨论，根据相似三角形的性质与判定即可求解； （4）如图，作且与抛物线只有1个交点，交轴于点，过点作于点，则是等腰直角三角形，作于，进而求得直线与的距离，即为所求最短距离，进而求得平移方式，将顶点坐标平移即可求解． 【答案】(1) (2)以B、C、Q三点为顶点的三角形是直角三角形，理由见解析 (3)存在，或， (4)最短距离为，平移后的顶点坐标为 【详解】（1）解：∵抛物线与y轴交于点 ∴ 抛物线解析式为 （2）以B、C、Q三点为顶点的三角形是直角三角形，理由如下： 的顶点坐标为 依题意得， 平移后的抛物线解析式为 令，解 得 令，则，即 以B、C、Q三点为顶点的三角形是直角三角形 （3）存在，或，理由如下， ，， 是等腰直角三角形 设直线的解析式为， 则， 解得， 直线的解析式为， 联立 解得， ，，是等腰直角三角形 ， 设直线的解析式为, 直线的解析式为 当时， 设的解析式为，由NT过点 则 解得 的解析式为， 令 解得 ， ②当时，则 即 解得 综上所述，或 （4）如图，作，交轴于点，过点作于点，则是等腰直角三角形，作于 直线的解析式为 设与平行的且与只有一个公共点的直线解析式为 则 整理得： 则 解得 直线的解析式为 ， 即拋物线平移的最短距离为，方向为方向 ∴把点P先向右平移EF的长度，再向下平移FC的长度即得到平移后的坐标 平移后的顶点坐标为，即 本题是二次函数综合，考查了相似三角形的性质，求二次函数与一次函数解析式，二次函数图象的平移，勾股定理的逆定理，正确的添加辅助线以及正确的计算是解题的关键． （2022·辽宁沈阳·统考中考真题）如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，抛物线经过点和点与x轴另一个交点A．抛物线与y轴交于点C，作直线AD． (1)①求抛物线的函数表达式 ②并直接写出直线AD的函数表达式． (2)点E是直线AD下方抛物线上一点，连接BE交AD于点F，连接BD，DE，的面积记为，的面积记为，当时，求点E的坐标； (3)点G为抛物线的顶点，将抛物线图象中x轴下方部分沿x轴向上翻折，与抛物线剩下部分组成新的曲线为，点C的对应点，点G的对应点，将曲线，沿y轴向下平移n个单位长度（）．曲线与直线BC的公共点中，选两个公共点作点P和点Q，若四边形是平行四边形，直接写出P的坐标． （1）①利用待定系数解答，即可求解；②利用待定系数解答，即可求解； （2）过点E作EG⊥x轴交AD于点G，过点B作BH⊥x轴交AD于点H，设点，则点， 可得，然后根据△EFG∽△BFH，即可求解； （3）先求出向上翻折部分的图象解析式为，可得向上翻折部分平移后的函数解析式为，平移后抛物线剩下部分的解析式为，分别求出直线BC和直线的解析式为，可得BC∥C′G′，再根据平行四边形的性质可得点，然后分三种情况讨论：当点P，Q均在向上翻折部分平移后的图象上时；当点P在向上翻折部分平移后的图象上，点Q在平移后抛物线剩下部分的图象上时；当点P在平移后抛物线剩下部分的图象上，点Q在向上翻折部分平移后的图象上时，即可求解． 【答案】(1)①；② (2)（2，-4）或（0，-3） (3)（1+，）或 【详解】（1）解：①把点和点代入得： ，解得：， ∴抛物线解析式为； ②令y=0，则， 解得：， ∴点A（-2，0）， 设直线AD的解析式为， ∴把点和点A（-2，0）代入得： ，解得：， ∴直线