专题15 函数中的面积问题-【聚焦压轴】2023届中考数学压轴大题专项突破

专题15 函数中的面积问题 函数中面积问题一般包括面积的最大值和最小值或者等于某个数值的问题。在解决函数中的面积问题时，通常需要过三角形或多边形的一个端点，做坐标轴的平行线，把三角形或多边形进行割补呈三角形，从而用坐标将三角形的底和高表达出来。如图，。 （2022·内蒙古·中考真题）如图，抛物线经过，两点，与x轴的另一个交点为A，与y轴相交于点C． (1)求抛物线的解析式和点C的坐标； (2)若点M在直线上方的抛物线上运动（与点B，C不重合），求使面积最大时M点的坐标，并求最大面积；（请在图1中探索） (3)设点Q在y轴上，点P在抛物线上，要使以点A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件的点P的坐标．（请在图2中探索） （1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）作直线BC，过M点作MN∥y轴交BC于点N，求出直线BC的解析式，设M（m，-+m+），则N（m，-m+），可得S△MBC=•MN•OB=+，再求解即可； （3）设Q（0，t），P（m，- +m+），分三种情况讨论：①当AB为平行四边形的对角线时；②当AQ为平行四边形的对角线时；③当AP为平行四边形的对角线时；根据平行四边形的对角线互相平分，利用中点坐标公式求解即可． 【答案】(1)， (2)，当时，S有最大值为 (3)满足条件的点P坐标为，， 【详解】（1）解：把点和分别代入可得 ， 解得 ∴抛物线的解析式为 把代入可得 ∴； （2）解：作直线，作轴交直线于点N 设直线的解析式为（） 把点和分别代入 可得 解得 ∴直线的解析式为 设点M的横坐标为m ∴， ∴ ∴ （） ∴当时，S有最大值为 把代入可得 ∴； （3）解：当以为边时，只要，且即可 ∴点P的横坐标为4或-4 把代入可得 把代入可得 ∴此时， 当以为对角线时，作轴于点H ∵四边形是平行四边形 ∴ ∴ 在和中 ∴ ∴ ∴ ∴点P的横坐标为2 把代入可得 ∴此时 综上所述，满足条件的点P坐标为，， 本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，平行四边形的性质，分类讨论是解题的关键。 （2022·四川绵阳·统考中考真题）如图，一次函数与反比例函数在第一象限交于、两点，垂直x轴于点，为坐标原点，四边形的面积为38． (1)求反比例函数及一次函数的解析式； (2)点P是反比例函数第三象限内的图象上一动点，请简要描述使的面积最小时点P的位置（不需证明），并求出点P的坐标和面积的最小值． （1）利用待定系数法即可求出反比例函数解析式，再利用四边形的面积为38．求出，进一步利用待定系数法即可求出一次函数解析式； （2）平移一次函数与在第三象限有唯一交点P，此时P到MN的距离最短，的面积最小，设平移后的一次函数解析式为：，联立，解得：，进一步求出：，即，连接PM，PN，过点P作的延长线交于点B，作交于点C，根据以及点的坐标即可求出的面积． 【答案】(1)，；(2)，． 【详解】（1）解：∵在上， ∴，即反比例函数解析式为：， 设， ∵四边形的面积为38． ∴，整理得：， 解得：（舍去），， ∴， 将和代入可得：解得：， ∴一次函数解析式为：． （2）解：平移一次函数到第三象限，与在第三象限有唯一交点P，此时P到MN的距离最短，的面积最小， 设平移后的一次函数解析式为：，联立可得：，整理得：， ∵有唯一交点P， ∴，解得：或（舍去）， 将代入得：，解得： 经检验：是分式方程的根， ∴， 连接PM，PN，过点P作的延长线交于点B，作交于点C， 则：， ∵，，， ∴， ， ， ∴． 本题考查一次函数和反比例函数的综合，难度较大，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式，掌握平行线之间的距离，解分式方程，解一元二次方程知识点。 （2022·辽宁大连·统考中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，连接． (1)求点B，点C的坐标； (2)如图1，点在线段上（点E不与点B重合），点F在y轴负半轴上，，连接，设的面积为，的面积为，，当S取最大值时，求m的值； (3)如图2，抛物线的顶点为D，连接，点P在第一象限的抛物线上，与相交于点Q，是否存在点P，使，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． （1）利用抛物线的解析式，令x=0，可得C的坐标，令y=0，可得A，C的坐标； （2）由 可得 再分别表示 再建立二次函数关系式，再利用二次函数的性质可得答案； （3） 如图，延长DC与x轴交于点N，过A作于H，过作轴于K，连接BD，证明 证明 求解 可得 再求解 及为再联立： 从而可得答案． 【答案】(1) (2)当最大时， (3) 【详解】（1）解：∵，令 则 令 则 解得： ∴ （2）∵ ∴ 而 ∴ ∴当最大时，则 （3）如图，延