专题14 函数中的最值问题-【聚焦压轴】2023届中考数学压轴大题专项突破

专题14 函数中的最值问题 函数中的最值问题在中考中的考查频率较高，主要包括求线段之和的最小值（将军饮马型）、求线段之和的最小值（修桥模型）、胡不归求最值问题等。 一、求线段之和的最小值（将军饮马型） 1.在一条直线m上，求一点P，使PA+PB最小； （1）点A、B在直线m两侧： （2）点A、B在直线同侧： A、A'是关于直线m的对称点。 2.在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。 （1）两个点都在直线外侧： （2）一个点在内侧，一个点在外侧： （3）两个点都在内侧： （4）台球两次碰壁模型 变式一：已知点A、B位于直线m，n 的内侧，在直线n、m分别上求点D、E点，使得围成的四边形ADEB周长最短. 变式二：已知点A位于直线m，n 的内侧， 在直线m、n分别上求点P、Q点PA+PQ+QA周长最短. 二、求线段之和的最小值（修桥模型） 已知A、B是两个定点，P、Q是直线m上的两个动点，P在Q的左侧，且PQ间长度恒定，在直线m上要求P、Q两点，使得PA+PQ+QB的值最小。(原理用平移知识解) （1）点A、B在直线m两侧： 过A点作AC//m，且AC长等于PQ长，连接BC，交直线m于Q，Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。 （2）点A、B在直线m同侧： 过A点作AE//m，且AE长等于PQ长，作B关于m的对称点B'，连接B'E，交直线m于Q，Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。 三、胡不归求最值（胡不归模型） 一动点P在直线MN外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，且V1<V2，A、B为定点，点C在直线MN上，确定点C的位置使的值最小． ，记，即求BC+kAC的最小值． 构造射线AD使得sin∠DAN=k，CH/AC=k，CH=kAC． 将问题转化为求BC+CH最小值，过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小． 在求形如“PA+kPB”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“PA+kPB”型问题转化为“PA+PC”型． （2022·西藏·统考中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣ ＋（m﹣1）x＋2m与x轴交于A，B（4，0）两点，与y轴交于点C，点P是抛物线在第一象限内的一个动点． (1)求抛物线的解析式，并直接写出点A，C的坐标； (2)如图甲，点M是直线BC上的一个动点，连接AM，OM，是否存在点M使AM＋OM最小，若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由； (3)如图乙，过点P作PF⊥BC，垂足为F，过点C作CD⊥BC，交x轴于点D，连接DP交BC于点E，连接CP．设△PEF的面积为S1，△PEC的面积为S2，是否存在点P，使得最大，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． （1）将B（4，0）代入，求出函数解析式即可求解； （2）作O点关于BC的对称点，连接A交BC 于点M，连接B，当A、M、三点共线时，AM＋OM有最小值，分别求出直线A的解析式和直线BC的解析式，两直线的交点即为M点； （3）连接PB，过P点作PGy轴交CB于点G， 设，则G（t，－t＋4），由求出，再由PFCD，可得 则 当t＝2时，有最大值，同时可求P的坐标． 【答案】(1)，A（﹣2，0）；C（0，4） (2)存在点M使AM＋OM最小， M（，） (3)存在， P（2，4） 【详解】（1）将B（4，0）代入y＝﹣＋（m﹣1）x＋2m， ∴﹣8＋4（m﹣1）＋2m＝0， 解得m＝2， ∴y＝﹣＋x＋4， 令x＝0，则y＝4， ∴C（0，4）， 令y＝0，则﹣＋x＋4＝0， 解得x＝4或x＝﹣2， ∴A（﹣2，0）； （2） 存在点M使AM＋OM最小，理由如下： 作O点关于BC的对称点，连接A交BC于点M，连接B， 由对称性可知，OM＝M， ∴AM＋OM＝AM＋MA， 当A、M、三点共线时，AM＋OM有最小值， ∵B（4，0），C（0，4）， ∴OB＝OC， ∴∠CBO＝45°， 由对称性可知∠BM＝45°， ∴B⊥BO， ∴（4，4）， 设直线A的解析式为y＝kx＋b， ∴， 解得， ∴y＝x＋， 设直线BC的解析式为， ∴4＋4＝0， ∴＝﹣1， ∴y＝﹣x＋4， 联立方程组， 解得， ∴M（）； （3） 在点P，使得最大，理由如下： 连接PB，过P点作PGy轴交CB于点G， 设P（t，﹣＋t＋4），则G（t，﹣t＋4）， ∴PG＝﹣＋2t， ∵OB＝OC＝4， ∴BC＝4， ∴S△BCP＝×4×（﹣＋2t）＝﹣＋4t＝×4×