专题13 函数中的三角形、四边形存在性问题-【聚焦压轴】2023届中考数学压轴大题专项突破

专题13 函数中的三角形、四边形存在性问题 函数中三角形、四边形的存在性问题是中考中的常考点，考查内容主要包括等腰三角形、直角三角形、平行四边形、特殊的平行四边形以及三角形全等和相似的存在性。在解决此类问题时，首先要用坐标把三角形或四边形的边长表示出来（可以根据勾股定理），在设坐标时，通常只设一个未知数横坐标或者纵坐标，另一个坐标一般根据函数解析式进行表示，其次根据等腰三角形、直角三角形、平行四边形等的判定定理列出方程，并求出未知数。 （2022·山东枣庄·统考中考真题）如图①，已知抛物线L：y＝x2+bx+c的图象经过点A（0，3），B（1，0），过点A作ACx轴交抛物线于点C，∠AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点． (1)求抛物线的关系式； (2)若动点P在直线OE下方的抛物线上，连结PE、PO，当△OPE面积最大时，求出P点坐标； (3)将抛物线L向上平移h个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在△OAE内（包括△OAE的边界），求h的取值范围； (4)如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P，使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． （1）利用待定系数法可得抛物线的解析式； （2）过P作PGy轴，交OE于点G，设P（m，m2﹣4m+3），根据OE的解析式表示点G的坐标，表示PG的长，根据面积和可得△OPE的面积，利用二次函数的最值可得其最大值； （3）求出原抛物线的对称轴和顶点坐标以及对称轴与OE的交点坐标、与AE的交点坐标，用含h的代数式表示平移后的抛物线的顶点坐标，列出不等式组求出h的取值范围； （4）存在四种情况：作辅助线，构建全等三角形，证明△OMP≌△PNF，根据|OM|＝|PN|，列方程可得点P的坐标；同理可得其他图形中点P的坐标． 【答案】(1)抛物线的解析式为：y＝x2﹣4x+3 (2)P点坐标为（，） (3)h的取值范围为3≤h≤4 (4)存在，点P的坐标是（，）或（，）或（，）或（，） 【详解】（1）解：∵抛物线L：y＝x2+bx+c的图象经过点A（0，3），B（1，0）， ∴ ， 解得， ∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣4x+3； （2）如图1，过P作PGy轴，交OE于点G， 设P（m，m2﹣4m+3）， ∵OE平分∠AOB，∠AOB＝90°， ∴∠AOE＝45°， ∴△AOE是等腰直角三角形， ∴AE＝OA＝3， ∴E（3，3）， 设直线OE的解析式为y＝kx，把点（3，3）代入得， 3＝3k， 解得k＝1， ∴直线OE的解析式为：y＝x， ∴G（m，m）， ∴PG＝m﹣（m2﹣4m+3）＝﹣m2+5m﹣3， ∴S△OPE＝S△OPG+S△EPG PG•AE 3×（﹣m2+5m﹣3） （m2﹣5m+3） （m）2， ∵0， ∴当m时，△OPE面积最大， 此时m2﹣4m+3＝， ∴P点坐标为（，）； （3）由y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，得抛物线l的对称轴为直线x＝2，顶点为（2，﹣1）， 抛物线L向上平移h个单位长度后顶点为F（2，﹣1+h）． 设直线x＝2交OE于点M，交AE于点N，则N（2，3），如图2， ∵直线OE的解析式为：y＝x， ∴M（2，2）， ∵点F在△OAE内（包括△OAE的边界）， ∴2≤﹣1+h≤3， 解得3≤h≤4； （4）设P（m，m2﹣4m+3），分四种情况： ①当P在对称轴的左边，且在x轴下方时，如图3，过P作MN⊥y轴，交y轴于M，交l于N， ∴∠OMP＝∠PNF＝90°， ∵△OPF是等腰直角三角形， ∴OP＝PF，∠OPF＝90°， ∴∠OPM+∠NPF＝∠PFN+∠NPF＝90°， ∴∠OPM＝∠PFN， ∴△OMP≌△PNF（AAS）， ∴OM＝PN， ∵P（m，m2﹣4m+3）， 则﹣m2+4m﹣3＝2﹣m， 解得：m或， ∵m＞2，不合题意，舍去， ∴m， 此时m2﹣4m+3＝， ∴P的坐标为（，）； ②当P在对称轴的左边，且在x轴上方时， 同理得：2﹣m＝m2﹣4m+3， 解得：m1或m2， ∵＞2，不合题意，舍去， ∴m＝， 此时m2﹣4m+3＝， ∴P的坐标为（，）； ③当P在对称轴的右边，且在x轴下方时，如图4，过P作MN⊥x轴于N，过F作FM⊥MN于M， 同理得△ONP≌△PMF， ∴PN＝FM， 则﹣m2+4m﹣3＝m﹣2， 解得：m1或m2； ∵＜2，不合题意，舍去， ∴m＝， 此时m2﹣4m+3＝， P的坐标为（，）； ④当P在对称轴的右边，且在x轴上方时，如图5，    同理得m2﹣4m+3＝m﹣2， 解得：m或（舍）， P的坐标为：（，）； 综上所述，点P的坐标是：（，）或（，）或（，）或（，）． 本题