第四层级第1讲　高考中与高等数学接轨的考法-【创新思维】2023高考二轮数学专题复习配套PPT课件，理科（老教材老高考）

第1讲　高考中与高等数学接轨的考法 二轮 · 数学(理) 高考数学与高等数学知识(如欧拉公式、极限思想、特征函数、高斯函数、狄利克雷函数、函数的凹凸性、洛必达法则、射影定理、不动点定理等)的接轨，常以小题的形式呈现，意在考查数学抽象、逻辑推理、直观想象和数学运算等核心素养．因此在复习备考中，有意识地加强这方面的训练很有必要，有利于培养探究、创新精神，拓宽思维，提升核心素养． 二轮 · 数学(理) [典题1]　欧拉公式eix＝cos x＋isin x(i为虚数单位)是由瑞士数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系．特别是当x＝π时，eiπ ＋1 ＝0，欧拉公式被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，e2i表示的复数在复平面中对应的点位于(　　) A．第一象限　　　　　 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 B 二轮 · 数学(理) [解析]　由题意得e2i＝cos 2＋isin 2，所以e2i表示的复数在复平面中对应的点为(cos 2，sin 2)．因为2∈，所以cos 2 <0，sin 2 >0，所以e2i表示的复数在复平面中对应的点位于第二象限，故选B． 二轮 · 数学(理) 以欧拉公式为背景考查复数几何意义的题目，意在考查逻辑推理、数学运算、直观想象等核心素养．破解此类题的关键：一是会揭开数学文化的面纱，读懂题意；二是会进行三角运算．如本题，在读懂题意的基础上，需利用弧度制，判断角的范围，从而判断角的三角函数值的符号，即可得出复数在复平面中对应的点的位置． 二轮 · 数学(理) C 二轮 · 数学(理) 二轮 · 数学(理) 本题以割圆术为背景，根据背景抽象出方程，侧重考查用极限思想求解问题，充分考查了数学抽象、逻辑推理和数学运算等核心素养． 二轮 · 数学(理) 洛必达法则的本质是将函数比值的极限转化为导函数比值的极限，从而将无法直接求解的极限转化为可以求解的极限． 洛必达法则适用类型： 二轮 · 数学(理) 二轮 · 数学(理) 二轮 · 数学(理) 二轮 · 数学(理) 二轮 · 数学(理) 二轮 · 数学(理) 二轮 · 数学(理) [典题4]　若对于定义在R上的函数f(x)，其图象是连续不断的，且存在常数λ(λ∈R)使得f(x＋λ)＋λf(x)＝0对任意的实数x都成立，则称f(x)是“λ～特征函数”．下列结论中正确的个数为(　　) ①f(x)＝0是常数函数中唯一的“λ～特征函数”； ②f(x)＝2x＋1不是“λ～特征函数”； 二轮 · 数学(理) 二轮 · 数学(理) [解析]　对于①，设f(x)＝C，C为常数，当λ＝－1时，f(x＋λ)＋λf(x)＝0恒成立，所以函数f(x)＝C是“λ～特征函数”，所以f(x)＝0不是常数函数中唯一的“λ～特征函数”，所以①不正确． 对于②，函数f(x)＝2x＋1，则f(x＋λ)＋λf(x)＝2(x＋λ)＋1＋λ(2x＋1)＝0，即2(λ＋1)x＝－3λ－1. 当λ＝－1时，f(x＋λ)＋λf(x)＝－2≠0， 当λ≠－1时，方程2(λ＋1)x＝－3λ－1有唯一的解， [答案]　C 二轮 · 数学(理) 二轮 · 数学(理) 二轮 · 数学(理) 对于④，假设f(x)＝ex是“λ～特征函数”，则ex＋λ＋λex＝0对任意的实数x成立，即eλ＋λ＝0对任意的实数x成立．而此式有解，所以f(x)＝ex是“λ～特征函数”，所以④正确． 所以正确的命题是②③④.故选C． 二轮 · 数学(理) 本题以“λ～特征函数”为背景，主要考查了函数的基本概念及其应用，求解关键：一是明晰“λ～特征函数”的双层含义，第一层含义是定义在R上的函数f(x)，其图象是连续不断的．第二层含义是存在常数λ(λ∈R)使得f(x＋λ)＋λf(x)＝0对任意的实数x都成立；二是掌握函数零点的判断技巧． 二轮 · 数学(理) A 二轮 · 数学(理) 二轮 · 数学(理) 求解此类题的关键是理解高斯函数的含义．若是以选择题的形式考查，可用取特殊值法达到秒解，对特殊值的敏感和对已知选项的挖掘，常常可从中提取有效的信息．若对它们视而不见，则会导致题目复杂难解．注意特殊值的选定，一要典型，能定性说明问题；二要简单，便于计算． 二轮 · 数学(理) 二轮 · 数学(理) ③任取一个不为零的有理数T，f(x＋T)＝f(x)对任意的x∈R恒成立； ④存在三个点A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))，C(x3，f(x3))，使得△ABC为等边三角形．其中真命题的个数是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 C 二轮 · 数