6.3.1&6.3.2二项式定理及二项式系数的性质（两个课时）-【361课堂】2022-2023学年高二数学同步“导思议展评测”精品课件(人教A版2019选择性必修第三册)

第六章 计数原理 6.3二项式定理 6.3.1二项式定理 1 课程标准 能用多项式运算法则和计数原理真名二项式定理，会用二项式定理解决和二项展开式有关的简单问题。 2 复习回顾 回顾1 排列与排列数的概念及公式是什么？ 排列的概念:一般地，从个不同的元素中取出个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同的元素中取出个元素的一个排列。 我们把从个不同元素中取出个元素的所有不同排列的个数, 叫做从个不同元素中取出个元素的排列数，并用符号表示. =，（） 3 复习回顾 回顾2 组合与组合数的概念及公式是什么？ 1.组合的概念：一般地, 从个不同元素中取出个元素作为一组, 叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合. 2.组合数的概念:从n个不同元素中取出m (m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号表示. 4 新课导入 上节课学习了排列数公式与组合数公式，本节我们用它们解决一个在数学上广泛应用的展开问题。 5 一 二 三 教学目标 能用计数原理证明二项式定理 掌握二项式定理及其展开式的通项公式 会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题 教学目标 难点 重点 新知探究 探究一：二项式定理及其展开式的通项公式 7 新知讲解 问题1 ，的展开式分别是什么？ （1）观察他们的展开式，分析它们的运算过程，你可以发现什么规律？ （2）根据发现的规律，能否写出的展开式？ （3）进一步，你能否写出的展开式？ 这就是我们本节课的任务！ (a+b)2=a2+2ab+b2 (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3 追问 上述两个等式的右侧有何特点？ 的展开式有项，每一项的次数为 的展开式有4项，每项的次数是3； 的展开式有5项，每一项的次数为4. 8 新知讲解 我们先用组合的知识来分析的展开过程 (a＋b)2＝(a＋b)(a＋b) ＝a×a＋a×b＋b×a＋b×b ＝a2＋2ab＋b2 可以看到是2个相乘，只要从一个中选一项(选或)，再从另一个中选一项(选或)，就得到展开式的一项. 于是，由分步乘法计数原理，在合并同类项之前，的展开式共有项，并且每一项都是的形式。 9 新知讲解 下面我们再来分析一下形如的同类项的个数 当时,, 这是由2个中都不选得到的,因此，出现的次数相当于从2个中取0个(都取)的组合数, 即只有1个 . 当时, , 是由1个中选, 另1个中选得到的 . 由于选定后，的选法也随之确定，因此，出现的次数相当于从2个中取1个的组合数，即共有2个 . 当时,, 是由2个中都选得到的,因此, 出现的次数相当于从2个中取2个b的组合数, 因此只有1个 . 10 新知讲解 由以上分析可以得到： ＝++ 问题2 仿照上述过程, 你能利用计数原理, 写出的展开式吗? 项 系数 (1) 3个括号中都不取(全都取得：; (2) 3个括号中有1个取，剩下的2个都取得:; (4)3个括号中全都取得:. (3) 3个括号中有2个都取，剩下的1个取得:; 11 新知讲解 根据上面的分析 =++ 问题5 请同学们以上述的方法对与的展开式进行探究。 12 新知讲解 = (a+b) (a+b) (a+b) (a+b) a4 a3b a2b2 ab3 b4 项 系数： (a+b)4=C40a4 +C41a3b +C42a2b2 +C43ab3 +C44b4 13 新知讲解 = (a+b) (a+b) ...(a+b) 项 系数 ... ... ... ... = 14 概念生成 二项式定理 公式＝， 称为二项式定理 项 二项式系数 通项 ＝ 特例 ＝ 仔细观察式子，你发现了它有怎样的特征？ 15 新知讲解 ＝ 问题6 仔细观察式子，你发现了它有怎样的特征？ 式子特征 （1）展开的式子有个； （2）通项； （3）各项的次数都是； （4）各项里a的指数由n降到0，b的指数由0升到n; ... 16 新知讲解 二项展开式中的指数、项数、系数的变化，是二项式定理的核心，它在求展开式的某些特定项、特定项系数、以及数、式的整除方面有广泛应用 . ＝ （5）展开式的第k+1项(通项)为其中叫做二项式系数，它与第k+1项的系数是两个不同的概念； （6）它可表示二项展开式中的任意项，只要n与k确定，该项也随即确定； （7）表示的是第k+1项，而不是第k项； （8）中a, b的位置不能颠倒. 17 新知探究 探究二：二项式定理及其展开式的简单应用 18 例题讲解 例1 求的展开式 . ＝ 19 例题讲解 例2 (1)求的展开式的第4项的系数; （2）求的展开式的的系数. ＝ 通项：＝ 解：(1) (1+2x)7的展开式的第