专题12 导数-2023年新高考数学考前提分锦囊

专题十二 导数 一、考情分析 从近两年的新高考试题来看,导数是高考中的重点与难点,一般有一道客观题,一道解答题（当然也有意外，如2022新高全国卷I有5道与导数有关的试题）,客观题考查的热点是用导数研究曲线的切线、用导数研究函数的极值最值与零点.解答题主要考查利用导数研究函数的性质及零点与不等式证明问题,难度一般比较大,通常位于第21或22题. 二、三年新高考真题展示 1.（2020新高考山东卷）已知函数． （1）当时,求曲线y=f（x）在点（1,f（1））处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； （2）若f（x）≥1,求a的取值范围． 2．（2021新高考全国卷Ⅰ）若过点可以作曲线的两条切线,则　　 A． B． C． D． 3．（2021新高考全国卷Ⅰ）函数的最小值为　1　． 4．（2021新高考全国卷Ⅰ）已知函数． （1）讨论的单调性； 5. （2021新高考全国卷Ⅱ）已知函数,函数的图象在点和点的两条切线互相垂直,且分别交y轴于M,N两点,则取值范围是_______． 6. （2021新高考全国卷Ⅱ）已知函数． （1）讨论的单调性； （2）从下面两个条件中选一个,证明：有一个零点 ①； ②． 7. （2022新高考全国卷Ⅰ）设,则 A. B. C. D. 8. （2022新高考全国卷Ⅰ）已知函数,则 A. 有两个极值点 B. 有三个零点 C. 点是曲线的对称中心 D. 直线是曲线的切线 9. （2022新高考全国卷Ⅰ）已知函数及其导函数的定义域均为,记,若,均为偶函数,则 A. B. C. D. 10. （2022新高考全国卷Ⅰ）若曲线有两条过坐标原点的切线,则a的取值范围是______． 11. （2022新高考全国卷Ⅰ）已知函数和有相同的最小值． （1）求a； （2）证明：存在直线,其与两条曲线和共有三个不同的交点,并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列． 12.（2022新高考全国卷Ⅱ）已知函数的图像关于点中心对称,则 A. 在区间单调递减 B. 在区间有两个极值点 C. 直线是曲线的对称轴 D. 直线是曲线的切线 13.（2022新高考全国卷Ⅱ）曲线过坐标原点的两条切线的方程为_____,_____． 14.（2022新高考全国卷Ⅱ）已知函数． （1）当时,讨论的单调性； （2）当时,,求a的取值范围； （3）设,证明：． 三、知识、方法、技能 1. 导数的概念 如果函数y＝f(x)的自变量x在x0处有增量Δx,那么函数y相应地有增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0),比值就叫函数y＝f(x)从x0到x0＋Δx之间的平均变化率,即＝.如果当Δx→0时,有极限,我们就说函数y＝f(x)在点x0处可导,并把这个极限叫做f(x)在点x0处的导数,记作 或y′|x＝x0,即f′(x0)＝＝ . 2.基本初等函数的导函数 基本初等函数 导数 f (x)＝c(c为常数) f′(x)＝0 f (x)＝xα(α∈Q*) f′(x)＝αxα－1 f (x)＝sinx f′(x)＝cosx f (x)＝cosx f′(x)＝－sinx f (x)＝ex f′(x)＝ex f (x)＝ax(a>0) f′(x)＝axlna f (x)＝lnx f′(x)＝ f (x)＝logax(a>0,a≠1) f′(x)＝ 3.导数的运算法则 若f′(x),g′(x)存在,则有 (1)[f (x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)； (2)[f (x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f (x)g′(x)； (3) (g(x)≠0)． 4.复合函数的导函数 复合函数y＝f (g(x))的导数和函数y＝f (u),u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′,即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积． 5.可导偶函数的导数是奇函数,可导奇函数的导数是偶数 6.利用导数运算法则构造函数解不等式的基本策略： (1)给出可构造函数 (2)给出可构造函数； (3)给出可构造函数或 函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势,其正负号反映了变化的方向,其大小|f′(x)|反映了变化的快慢,|f′(x)|越大,曲线在这点处的切线越“陡”． 7. 求函数在某点处的切线的步骤 8.求函数过某点的切线 求曲线过某点的切线,一般是设出切点(x0,y0),解方程组得切点(x0,y0),进而确定切线方程． 9. 求曲线切线的条数一般是设出切点,由已知条件整理出关于t的方程,把切线条数问题转化为关于t的方程的实根个数问题. 研究曲线的公切线,一般是分别设出两切点,写出两切线方程,然后再使这两个方程表示同一条直线.若其中一个函数为二次函数,也可利用求解. 10.公切线问题 研