专题10 立体几何与空间向量-2023年新高考数学考前提分锦囊

专题十 立体几何与空间向量 一、考情分析 从近两年的新高考试题来看,立体几何是高考重点,一般有两道客观题,一道解答题，客观题容易题、中等题、难题都有可能，考查热点为几何体中长度、面积、体积的计算，异面直线所成角、球与几何体的切接、截面问题、几何体中平行与垂直的判断；解答题难度多为中等，属于得分题，该题一般有两问，第一问多为平行与垂直的证明，第二问多为线面角与二面角的计算. 二、三年新高考真题展示 1.（2020新高考山东卷）日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O)，地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面.在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40°，则晷针与点A处的水平面所成角为（ ） A. 20° B. 40° C. 50° D. 90° 2.（2020新高考山东卷）已知直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的棱长均为2，∠BAD=60°．以为球心，为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为________． 3.（2020新高考山东卷）如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD．设平面PAD与平面PBC的交线为l． （1）证明：l⊥平面PDC； （2）已知PD=AD=1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值． 4．（2021新高考全国卷Ⅰ）已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为　　 A．2 B． C．4 D． 5．（2021新高考全国卷Ⅰ）在正三棱柱中，，点满足，其中，，，，则　　 A．当时，△的周长为定值 B．当时，三棱锥的体积为定值 C．当时，有且仅有一个点，使得 D．当时，有且仅有一个点，使得平面 6．（2021新高考全国卷Ⅰ）如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点． （1）证明：； （2）若是边长为1的等边三角形，点在棱上，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积． 7. （2021新高考全国卷Ⅱ卷）正四棱台的上､下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为（ ） A. B. C. D. 8. （2021新高考全国卷Ⅱ）如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点．则满足的是（ ） A. B. C. D. 9. （2021新高考全国卷Ⅱ）在四棱锥中，底面是正方形，若． （1）证明：平面平面； （2）求二面角的平面角的余弦值． ，建如图所示的空间坐标系，求出平面、平面的法向量后可求二面角的余弦值. 10. （2022新高考全国卷Ⅰ）已知正四棱锥的侧棱长为l,其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为,且,则该正四棱锥体积的取值范围是 A B. C. D. 11.（2022新高考全国卷Ⅰ）已知正方体,则 A. 直线与所成的角为 B. 直线与所成的角为 C. 直线与平面所成的角为 D. 直线与平面ABCD所成的角为 12. （2022新高考全国卷Ⅰ）如图,直三棱柱的体积为4,的面积为． （1）求A到平面的距离； （2）设D为的中点,,平面平面,求二面角的正弦值． 13.（2022新高考全国卷Ⅱ）已知正三棱台的高为1,上、下底面边长分别为和,其顶点都在同一球面上,则该球的表面积为 A. B. C. D. 14.（2022新高考全国卷Ⅱ）如图,四边形为正方形,平面,,记三棱锥,,的体积分别为,则 A. B. C. D. 15.（2022新高考全国卷Ⅱ）如图,是三棱锥的高,,,E是的中点． （1）证明：平面； （2）若,,,求二面角的正弦值． 三、知识、方法、技能 1. 棱柱： （1）定义：有两个面互相平行,其余各面的公共边互相平行的多面体叫做棱柱. （2）棱柱的分类：①按侧棱是否与底面垂直分类：分为斜棱柱（侧棱不垂直于底面）和直棱柱（侧棱垂直于底面）,其中底面为正多边形的直棱柱叫正棱柱.②按底面边数的多少分类：底面分别为三角形,四边形,五边形…,分别称为三棱柱,四棱柱,五棱柱,…； （3）棱柱的性质：①棱柱的各个侧面都是平行四边形,所有的侧棱都相等,直棱柱的各个侧面都是矩形,正棱柱的各个侧面都是全等的矩形.②与底面平行的截面是与底面对应边互相平行的全等多边形.③过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形. （4）侧面积＝直截面（与各侧棱都垂直相交的截面）周长×侧棱长,特别地,直棱柱的侧面积＝底面周长×侧棱长.全面积（也称表面积）是各个表面面积之和,故棱柱的全面积＝侧面积＋2×底面积. 2.棱锥 （1）定义:一个面是多边形,其余各面是有一个公共顶点的三角形的多面体叫做棱锥.底面是正多边形并且顶点在底面上的射影是正多边形的中心的棱锥叫做