8.3 简单几何体的表面积与体积-【精彩三年】2022-2023学年新教材高中数学必修第二册教师用书word（人教A版）

8.3　简单几何体的表面积与体积 8．3.1　棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 [课程目标] 1.掌握棱柱、棱锥、棱台的表面积的计算公式；2.掌握棱柱、棱锥、棱台的体积的计算公式；3.能利用公式求多面体的表面积和体积． (见学生用书P55) 知识点一　棱柱、棱锥、棱台的表面积 棱柱、棱锥、棱台都是由多个__平面__图形围成的多面体，因此它们的表面积等于围成它们的__各个面__的面积之和，也就是__展开图__的面积． 知识点二　棱柱、棱锥、棱台的体积 图形 体积公式 棱 柱 底面积为S，高为h，V＝__Sh__ 棱 锥 底面积为S，高为h, V＝__Sh__ 棱 台 上底面面积为S′，下底面面积为S，高为h，V＝h(S′＋＋S) [研读](1)多面体展开图的面积即为多面体的表面积，在实际计算中，只要弄清楚多面体的各个面的形状并计算其面积，然后求其和即可，一般不把多面体真正展开． (2)等底、等高的两个柱体的体积相同． (3)求棱台的体积可转化为求棱锥的体积．根据棱台的定义进行“补形”，还原为棱锥，采用“大锥体”减去“小锥体”的方法求棱台的体积． 判断正误(请在括号中打“√”或“×”). (1)棱台的体积可由两个棱锥的体积差得出．(　√　) (2)棱台的侧面展开图是由若干个等腰梯形组成的.(　×　) (3)棱台的高就是相应侧棱的长．(　×　) (4)在棱台的体积公式V＝h(S′＋＋S)中，令S′＝0，得到棱锥的体积公式， 令S′＝S，得到棱柱的体积公式，说明这三种几何体是可以互相转化的．(　√　) (见学生用书P55) 　　 现有一个底面是菱形的直四棱柱(侧棱与底面垂直)，它的体对角线长为9和15，高是5，则该直四棱柱的侧面积是__160__． 【解析】 如图，设底面对角线AC＝a，BD＝b，交点为O，对角线A1C＝15，B1D＝9，所以a2＋52＝152，b2＋52＝92， 所以a2＝200，b2＝56. 因为该直四棱柱的底面是菱形， 所以AB2＝＋＝＝＝64，所以AB＝8. 所以该直四棱柱的侧面积S＝4×8×5＝160. [规律方法] 求多面体表面积的方法 (1)将多面体的表面积转化为各面的面积之和． (2)解决有关棱台的问题时，常用两种解题思路：一是把基本量转化到梯形中去解决；二是把棱台还原成棱锥，利用棱锥的有关知识来解决． 　　　　　　　 　　　　 　　　 活学活用 2022•杭州余杭高级中学高一已知三棱锥的三条侧棱长均为2，侧面有两个是等腰直角三角形，底面等腰三角形底上的高为，则这个三棱锥的表面积为(　C　) A．4＋3＋ B．4＋＋2 C．4＋＋ D．4＋2＋ 【解析】 结合题目边长关系，三棱锥如下图所示． AB＝AC＝AD＝2，CE＝，由题意△ABC，△ACD是等腰直角三角形，则BC＝CD＝2，BE＝＝，BD＝2，AE＝＝1，则表面积为S△ABC＋S△ACD＋S△ABD＋S△BCD＝×2×2＋×2×2＋×2×1＋×2×＝4＋＋. 　　 如图所示，在长方体ABCD­A′B′C′D′中，用截面截下一个棱锥C­A′DD′，则棱锥C­A′DD′的体积与剩余部分的体积之比为__1∶5____． [规律方法] (1)常见的求几何体体积的方法：①公式法：直接代入公式求解．②等体积法：如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可．③分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积． (2)求几何体体积时需注意的问题：柱、锥、台的体积的计算，一般要找出相应的底面和高，要充分利用截面、轴截面，求出所需要的量，最后代入公式计算． 活学活用 2022•宁波慈溪中学高一如图，一个边长为4 cm的正方形纸片上有四块阴影部分，将这些阴影部分裁下来，然后用余下的四个全等的等腰三角形和一个正方形做成一个正四棱锥，则该正四棱锥的体积为____cm3. 【解析】 如图，设正方形纸片为A1B1C1D1，其内的小正方形为ABCD，做成的正四棱锥为P­ABCD，取D1C1，AD的中点分别为H，G，连接D1G，DH. 由题意，BD＝2，A1D1＝4，由对称性可知DH＝1，D1H＝2.所以DD1＝，所以D1G＝＝＝， 即在正四棱锥P­ABCD中，PG＝，又OG＝AB＝， 所以PO＝＝＝2，所以正四棱锥P­ABCD的体积为V＝S正方形ABCD×PO＝××2＝. 　　 如图所示，在多面体ABCDEF中，已知底面ABCD是边长为3的正方形，EF∥AB，EF＝，EF与平面ABCD的距离为2，则该多面体的体积为(　D　) A． B．5 C．6 D． 【解析】 如图，连接EB，EC，AC，则VE­ABCD＝×32×2＝6. 因为AB＝2EF，EF∥AB，所以 S△EAB＝2S△BEF. 所以