8.2 立体图形的直观图-【精彩三年】2022-2023学年新教材高中数学必修第二册教师用书word（人教A版）

8.2　立体图形的直观图 [课程目标] 1.体会平面图形和空间图形的直观图的含义；2.结合实例，掌握直观图的斜二测画法及步骤；3.会用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图；会用斜二测画法画柱、锥、台、球及其简单组合体等空间图形的直观图． (见学生用书P52) 知识点一　用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤 [研读](1)画水平放置的平面多边形的直观图，关键是确定多边形顶点的位置，借助平面直角坐标系确定顶点后，只需把这些顶点顺次连接即可． (2)用斜二测画法画直观图要掌握水平长不变，垂线长减半，直角画45°(或135°). 知识点二　立体图形直观图的画法 用斜二测画法画空间几何体的直观图时，与画平面图形的直观图相比，只是多画一个与x轴、y轴都垂直的z轴，其直观图中对应于z轴的是__z′轴__，平面__x′O′y′__表示水 平平面，平面y′O′z′和x′O′z′表示__竖直平面__．已知图形中平行于z轴(或在z轴上)的线段，其__平行性和长度__都不变． [研读]斜二测画法中的“三变”与“三不变”． 三变：x轴、y轴的夹角改变；与y轴平行的线段长度改变；图形改变． 三不变：平行性不变；与x轴、z轴平行的线段的长度不变；相对位置不改变． 判断正误(请在括号中打“√”或“×”). (1)用斜二测画法画水平放置的∠A时，若∠A的两边分别平行于x轴和y轴，且∠A＝90°，则在直观图中，∠A＝45°.(　×　) (2)用斜二测画法画平面图形的直观图时，平行的线段在直观图中仍平行，且长度不变．(　×　) (3)相等的角，在直观图中仍相等．(　×　) (4)长度相等的线段，在直观图中长度仍相等．(　×　) (5)若两条直线垂直，在直观图中对应的直线也互相垂直．(　×　) (见学生用书P53) 　　 如图，画出水平放置的等腰梯形的直观图． 解：画法：(1)如图1，取AB所在直线为x轴，AB的中点O为原点建立平面直角坐标系，画对应的坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°，如图2. (2)以点O′为中点在x′轴上取A′B′＝AB，在y′轴上取O′E′＝OE，以E′为中点画C′D′∥x′轴，并使C′D′＝CD. (3)连接B′C′，D′A′，整理所得的四边形A′B′C′D′就是水平放置的等腰梯形ABCD的直观图，如图3. [规律方法] 画水平放置的平面图形的直观图的步骤 (1)画轴：在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O，画直观图时，它们分别对应x′轴和y′轴，两轴交于点O′，使∠x′O′y′＝45° (或135° )，它们确定的平面表示水平面． (2)定点：根据“已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段．原图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，在直观图中长度变为原来的一半”的规则，确定平面图形的直观图的关键点． (3)连线成图：连接已确定的关键点，把坐标轴擦去，得到水平放置的平面图形的直观图． 　　 画正六棱柱(底面是正六边形，侧棱垂直于底面)的直观图．(底面边长与侧棱长尺寸不作要求) 解：(1)画轴：画x′轴、y′轴、z′轴，三轴相交于点O′，使∠x′O′y′＝45°，∠x′O′z′＝90° . (2)画底面：根据x′轴、y′轴画正六边形的直观图ABCDEF. (3)画侧棱：过A，B，C，D，E，F各点分别作z′轴的平行线，在这些平行线上分别截取AA′，BB′，CC′，DD′，EE′，FF′，使AA′＝BB′＝CC′＝DD′＝EE′＝FF′. (4)成图．顺次连接点A′，B′，C′，D′，E′，F′，A′，如图1，加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，就得到正六棱柱的直观图，如图2. 活学活用 用斜二测画法画出正六棱锥P­ABCDEF的直观图，其中底面ABCDEF为正六边形，点P向底面投影为正六边形的中心O.(点P的位置不作要求) 解：(1)画出正六棱锥P­ABCDEF的底面．如图1所示，在正六边形ABCDEF中，取AD所在的直线为x轴，对称轴MN所在直线为y轴，两轴相交于O. (2)画相应的x′轴、y′轴和z′轴，三轴相交于O′，使∠x′O′y′＝45°，∠x′O′z′＝90°.在图2中，以O′为中点，在x′轴上取A′D′＝AD，在y′轴上取M′N′＝MN.以N′点为中点画B′C′平行于x′轴，且B′C′＝BC，再以M′为中点画E′F′平行于x′轴，且E′F′＝EF，连接A′B′，C′D′，D′E′，F′A′，得正六边形ABCDEF水平放置的直观图A′B′C′D′E′F′. (3)画正六棱锥P­ABCDEF的顶点．在z′轴上取点P′. (4)成图．连接P′A′，P′B′，P′C′，P′D′，P′E′，P′F′，并进行整理，便