7.3 复数的三角表示-【精彩三年】2022-2023学年新教材高中数学必修第二册教师用书word（人教A版）

7．3*　复数的三角表示 7．3.1　复数的三角表示式 [课程目标] 1.通过复数的几何意义了解复数的三角表示；2.了解复数的辐角及辐角的主值的含义，了解复数的代数表示与三角表示之间的关系． (见学生用书P41) 知识点　复数的三角表示式 (1)复数的三角形式：一般地，任何一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)都可以表示成__r(cos______θ＋isin__θ)__的形式．其中，r是复数z的__模__，θ是复数的辐角. __r(cos______θ＋isin__θ)__叫做复数z＝a＋bi的三角表示式，简称三角形式. z＝a＋bi叫做复数的代数形式． (2)复数的辐角：以x轴的非负半轴为始边，向量所在射线(射线OZ)为终边的角，叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的辐角．我们规定在__0≤θ<2π____范围内的辐角θ的值为辐角的主值，记作arg z，即__0≤arg__z<2π____． (3)两个用三角形式表示的复数相等的充要条件：两个非零复数相等当且仅当它们的__模__与__辐角的主值____分别相等． [研读]可将复数的三角形式与三角函数的定义联系起来，设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，则辐角θ满足cos θ＝，sin θ＝，模r＝. 判断正误(请在括号中打“√”或“×”). (1)任何一个复数的辐角有无限个值，这些值相差2π 的整数倍．(　√　) (2)任何一个复数的辐角的主值是唯一的．(　√　) (3)复数0的辐角是任意的．(　√　) (4)复数z＝2(cos θ＋isin θ)中，θ一定是辐角的主值．(　×　) (5)复数z＝1＋i的三角表示式为.(　×　)(见学生用书P42) 　　 下列复数是不是三角形式？若不是，把它们表示成三角形式． (1)z1＝sin 150°＋icos 150°； (2)z2＝4(cos 330°＋isin 570°)； (3)z3＝－sin θ－icos θ. 解：(1)z1＝sin 150°＋icos 150°不是三角形式， z1＝sin 150°＋icos 150°＝－i＝cos 300°＋isin 300°， 所以z1的三角形式是z1＝cos 300°＋isin 300°. (2)z2＝4(cos 330°＋isin 570°)不是三角形式， z2＝4(cos 330°＋isin 570°)＝4(cos 30°－isin 30°)＝4[cos (－30°)＋isin (－30°)]， 所以z2的三角形式是z2＝4[cos (－30°)＋isin (－30°)]. (3)z3＝－sin θ－icos θ不是三角形式， z3＝－sin θ－icos θ＝－cos －isin ＝cos ＋isin ， 所以z3的三角形式是z3＝cos ＋isin . [规律方法] 复数三角形式的判断依据和变形步骤 (1)判断依据：三角形式的结构特征：模非负，角相等，余弦在前，正弦在后，中间用加号连接； (2)变形步骤：先确定复数对应的点所在象限，其次判断是否变换三角函数名称，最后确定辐角． 　　　　　　　 　　　　 　　　 活学活用 复数－sin 60°＋icos 60°的辐角的主值是(　C　) A．60° B．120° C．150° D．330° 【解析】 －sin 60°＋icos 60°＝－＋i＝cos 150°＋isin 150°，则－sin 60°＋icos 60°的辐角的主值是150°.故选C. 　　 把下列复数的代数形式化成三角形式． (1)－i；　(2)sin 415°＋icos 665° . 解：(1)r＝＝2，复数表示的点在第四象限，tan θ＝＝－，所以θ＝， 所以－i＝2. (2)sin 415°＋icos 665° ＝sin (360°＋55°)＋icos (720° －55°) ＝sin 55° ＋icos 55° ＝cos 35° ＋isin 35° . [规律方法] 复数代数形式化为三角形式的步骤 (1)先求复数的模；(2)判断辐角所在的象限； (3)根据象限求出辐角(一般取其主值)； (4)写出复数的三角形式． 活学活用 把下列复数的代数形式化为三角形式． (1)3－i；(2)sin 497°＋icos 223°. 解：(1)3－i＝2＝2[cos (－30°)＋isin (－30°)]. (2)sin 497°＋icos 223°＝sin 137°－icos 43°＝cos 47°－isin 47° ＝cos (－47°)＋isin (－47°)＝cos 313°＋isin 313°. 　　把下列复数表示成代数形式． (1)6； (2). 解：(1)6＝6＝3－3i. (2)＝ ＝＝－＋i. [规律方法] 将复数的