7.2 复数的四则运算-【精彩三年】2022-2023学年新教材高中数学必修第二册教师用书word（人教A版）

7．2　复数的四则运算 7.2.1　复数的加、减运算及其几何意义 [课程目标] 1.熟练掌握复数的加、减运算法则；2.理解复数加、减法的几何意义，能够利用“数形结合”的思想解题． (见学生用书P37) 知识点一　复数的加、减法 (1)运算法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)， 则z1＋z2＝__(a＋c)＋(b＋d)i__， z1－z2＝__(a－c)＋(b－d)i__． (2)复数加法运算律 设z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝__z2＋z1__，(z1＋z2)＋z3＝__z1＋(z2＋z3)__． [研读]复数的加、减运算可类比多项式的加、减运算进行． 知识点二　 复数加、减法的几何意义 复数加法的几何意义 复数z1＋z2是以OZ1，OZ2为邻边的平行四边形的对角线所对应的复数 复数减法的几何意义 复数z1－z2是从向量OZ2的终点指向向量OZ1的终点的向量Z2Z1所对应的复数 　　[研读](1)复数加、减法的几何意义包含两个方面：一方面，利用几何意义可以把几何图形的变换转化为复数运算去处理；另一方面，对于一些复数的运算也可以给予几何解释，使复数作为工具运用于几何之中． (2)复数模的三角不等式：若z1，z2是复数，则||z1|－|z2||≤|z1±z2|≤|z1|＋|z2|. 　　 判断正误(请在括号中打“√”或“×”). (1)两个虚数的和或差可能是实数．(　√　) (2)在进行复数的加法运算时，实部与实部相加得实部，虚部与虚部相加得虚部．(　√　) (3)因为虚数不能比较大小，所以虚数的模也不能比较大小．(　×　) (见学生用书P38) 　　 (1)若复数z1＝a＋(a－1)i，z2＝3＋(4－2a)i(a∈R)，且复数z1＋z2所对应的点在第一象限内，则实数a的取值范围是__(－3，3)__． (2)已知复数z满足2＋|z|i＝z＋4i，则|z|＝____． 【解析】 (1)z1＋z2＝[a＋(a－1)i]＋[3＋(4－2a)i]＝(a＋3)＋(3－a)i，又复数z1＋z2所对应的点在第一象限内，所以解得－3<a<3.则实数a的取值范围是(－3，3). (2)设z＝x＋yi(x，y∈R)，则|z|＝，又2＋|z|i＝z＋4i，所以2＋i＝x＋(y＋4)i，所以解得所以z＝2－i，则|z|＝＝. [规律方法] (1)复数的加、减运算就是实部与实部相加减，虚部与虚部相加减． (2)当一个等式中同时含有|z|与z时，一般用待定系数法，设z＝x＋yi(x，y∈R). 活学活用 已知z1＝1＋2i，z2＝a－i，z3＝3＋ai(a∈R)，若|z1＋z2－z3|＝5，则a＝__－2或5__． 【解析】 |z1＋z2－z3|＝|1＋2i＋a－i－(3＋ai)|＝|(a－2)＋(1－a)i|＝＝＝5， 所以2a2－6a＋5＝25，即a2－3a－10＝0， 解得a＝－2或a＝5. 　　 如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C对应的复数分别为0，3＋2i，－2＋4i.求 (1)表示的复数； (2)表示的复数； (3)表示的复数． 解：因为A，C对应的复数分别为3＋2i，－2＋4i， 由复数的几何意义，知与表示的复数分别为3＋2i，－2＋4i. (1)因为＝－，所以表示的复数为－3－2i. (2)因为＝－， 所以表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i. (3)因为＝＋， 所以表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i. [规律方法] 复数z＝a＋bi(a，b∈R)与以原点为起点，Z(a，b)为终点的向量一一对应． 活学活用 　　　　　　　 　　　　 　　　 2022•嘉兴一中高一在复平面内，O为原点，四边形OABC是复平面内的平行四边形，且A，B，C三点对应的复数分别为z1，z2，z3，若z1＝1，z3＝－2＋i，则z2＝(　C　) A．1＋i B．1－i C．－1＋i D．－1－i 【解析】 因为O为原点，四边形OABC是复平面内的平行四边形，又因为z1＝1，z3＝－2＋i，所以由复数加法的几何意义可得，z2＝z1＋z3＝1－2＋i＝－1＋i. 　　 已知|z1|＝|z2|＝1，z1＋z2＝＋i，求复数z1，z2及|z1－z2|. 解：由于|z1＋z2|＝＝1，设z1，z2，z1＋z2对应的向量分别为，，，则||＝||＝||＝1，故A，B，C三点均在以原点为圆心、1为半径的圆上，如图所示，由平行四边形法则和余弦定理的推论易得 cos ∠AOC＝＝， 故∠AOC＝60° ，所以平行四边形OACB为菱形，且△BOC，△COA都是等边三角形，即∠AOB＝120° . 又因为与x轴正半轴的夹角为60°， 故点A在x轴上，即A(1，0). 而xB＝