7.1 复数的概念-【精彩三年】2022-2023学年新教材高中数学必修第二册教师用书word（人教A版）

第七章 复数 7．1　复数的概念 7．1.1　数系的扩充和复数的概念 [课程目标] 1.了解引进虚数单位i的必要性，了解数集的扩充过程；2.理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念；3.掌握复数的表示方法，理解复数相等的充要条件． (见学生用书P33) 知识点一　复数的有关概念 (1)我们把形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做__虚数单位__，且i2＝－1. (2)全体复数所构成的集合C＝{a＋bi|a，b∈R}叫做__复数集__． (3)复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R). (4)对于复数z＝a＋bi，以后不作特殊说明都有a，b∈R，其中的a与b分别叫做复数z的__实部__与__虚部__． [研读](1)复数的虚部是实数b而非bi. (2)复数z＝a＋bi中a，b∈R. 知识点二　 复数相等 在复数集C＝中任取两个数a＋bi，c＋di (a，b，c，d∈R)，我们规定：a＋bi与c＋di相等的充要条件是__a＝c且b＝d__． 知识点三　复数的分类 (1)对于复数a＋bi，当且仅当__b＝0__时，它是实数；当且仅当a＝b＝0时，它是实数0；当__b≠0__时，它叫做虚数；当__a＝0且b≠0__时，它叫做纯虚数． 这样，复数z＝a＋bi可以分类如下： 复数z为 (2)复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系如下． [研读]复数集是最大的数集，任何一个数都可以写成a＋bi(a，b∈R)的形式，其中0＝0＋0i. 判断正误(请在括号中打“√”或“×”). (1)若a，b为实数，则z＝a＋bi为虚数．(　×　) (2)复数z＝bi是纯虚数．(　×　) (3)复数2－i的虚部为1.(　×　) (4)若复数z1，z2分别为z1＝3＋ai(a∈R)，z2＝b＋i(b∈R)，且z1＝z2，则a＋b的值为4.(　√　) (见学生用书P33) 　　 给出下列几个命题： ①若z∈C，则z2≥0； ②2i－1的虚部是2i； ③2i的实部是0； ④若实数a与ai对应，则实数集与纯虚数集一一对应； ⑤实数集的补集是虚数集． 　　　　　　　 　　　　 　　　 其中真命题的个数为(　C　) A．0 B．1 C．2 D．3 【解析】 令z＝i∈C，则i2＝－1<0，故①不正确． 2i－1的虚部应是2，故②不正确． 当a＝0时，ai＝0为实数，故④不正确，只有③，⑤正确． [规律方法] (1)若z＝a＋bi，只有当a，b∈R时，a是z的实部，b是z的虚部，且注意虚部不是bi，而是b. (2)不要混淆复数与虚数的概念，实数也是复数，实数和虚数是复数的两大构成部分． 　　 实数x分别取什么值时，复数z＝＋(x2－2x－15)i是下列数？ (1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数． 解：(1)z为实数，需x满足 即x＝5时，z是实数． (2)当x满足 即x≠－3且x≠5时，z是虚数． (3)当x满足 即x＝－2或x＝3时，z是纯虚数． [规律方法] (1)利用复数的表示形式，对复数进行分类，关键是根据分类标准列出实部、虚部应满足的关系式．求解参数时，注意考虑问题要全面，当条件不满足z＝a＋bi(a，b∈R)时应先转化形式． (2)注意分清复数分类中的条件：设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，则①z为实数⇔b＝0；②z为虚数⇔b≠0；③z为纯虚数⇔a＝0，b≠0；④z＝0⇔a＝0且b＝0. 活学活用 已知复数z＝(2m2＋m－3)＋(m2－3m＋2)i(m∈R)，其中i为虚数单位． (1)若复数z是实数，则实数m的值为__1或2__； (2)若复数z是纯虚数，则实数m的值为__－__． 　　关于x的方程3x2－x－1＝(10－x－2x2)i有实根，求实数a的值． 解：设方程的实数根为x＝m，则原方程可变为 3m2－m－1＝(10－m－2m2)i， 所以解得a＝11或a＝－. [规律方法] 两个复数相等，首先要分清两个复数的实部与虚部，然后利用两个复数相等的充要条件可得到两个方程，从而可以确定两个独立参数． 活学活用 2022•宜昌夷陵中学高一已知a，b∈R，＋2i＝＋i，则(　A　) A．b＝－2a B．b＝2a C．a＝－2b D．a＝2b 【解析】 因为＋2i＝＋i，所以解得故b＝－2a. 【迁移探究】已知复数z＝log3(x＋y)＋(x2－2x)i<1，求自然数x，y的值． 解：因为z<1，所以z∈R，则x2－2x＝0，解得x＝2或x＝0. 因为z<1，所以log3(x＋y)<1，且x2－2x＝0，所以或则或又x，y∈N，所以或则自然数x，y的值为x＝2，y＝0或x＝0，y＝1或x＝0，y＝2. 1．2022•温州永嘉中学高一已知a∈R，若a＋1＋(2a－1)i∈