6.4 平面向量的应用-【精彩三年】2022-2023学年新教材高中数学必修第二册教师用书word（人教A版）

6．4　平面向量的应用 6．4.1　平面几何中的向量方法 6．4.2　向量在物理中的应用举例 [课程目标] 1.通过向量知识在实际问题中的应用，提高分析问题、解决问题的能力；2.学会如何把实际问题转化为数学问题，通过建立数学模型解决实际问题． (见学生用书P21) 知识点 1．用向量方法解决平面几何问题 (1)建立平面几何与向量的联系，用__向量__表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为__向量问题__； (2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题； (3)把运算结果“翻译”成几何关系． 2．向量在物理中的应用 (1)物理问题中常见的向量有力、速度、位移等； (2)向量的加减法运算体现在一些物理量的合成和分解中； (3)动量mv是向量的数乘运算； (4)功是力F与位移s的数量积． [研读]用向量法解决平面几何问题，一般来说有两个方向： (1)几何法：选取适当的基底(基底中的向量尽量已知模或夹角)，将题中涉及的向量用基底表示，利用向量的运算法则、运算律或性质计算； (2)坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算．一般地，存在坐标系或易建坐标系的题目适合用坐标法． 判断正误(请在括号中打“√”或“×”). (1)可以利用向量方法解决直线的平行或垂直问题．(　√　) (2)两向量平行与两直线平行是一致的．(　×　) (3)利用向量的数量积运算，可以求线段的长度、夹角及平面图形的面积．(　√　) (4)用向量解决物理问题的实质是将物理问题转化为数学问题，再用向量方法解决．(　√　) 【解析】 (2)两向量平行时，只有两向量所在直线不重合时，才能得到对应两直线平行． (见学生用书P22) 　　 如图所示，在正方形ABCD中，P为对角线AC上任一点，PE⊥AB，PF⊥BC，垂足分别为E，F，连接DP，EF，求证：DP⊥EF. 证明：设正方形ABCD的边长为1，建立如图所示的平面直角坐标系， 设P(x，x)， 则D(0，1)，E(x，0)，F(1，x)， 所以＝(x，x－1)，＝(1－x，x). 由于·＝x(1－x)＋x(x－1)＝0， 所以⊥，即DP⊥EF. [规律方法] 对于线段的垂直问题，可以联想到两个向量垂直的条件(向量的数量积为0)，而对于这一条件的应用，可以考虑向量关系式的形式，也可以考虑坐标的形式． 活学活用 如图所示，若D是△ABC内的一点，且AB2－AC2＝DB2－DC2.求证：AD⊥BC. 解：设＝a，＝b，＝e，＝c，＝d， 则a＝e＋c，b＝e＋d， 所以a2－b2＝(e＋c)2－(e＋d)2＝c2＋2e·c－2e·d－d2， 由条件知，a2＝c2－d2＋b2， 所以e·c＝e·d，即e·(c－d)＝0， 即·＝0， 所以AD⊥BC. 　　 已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，设AC＝m，BC＝n. (1)若D为斜边AB的中点，求证：CD＝AB； (2)在(1)的条件下，若E为CD的中点，连接AE并延长交BC于F，求AF的长度(用m，n表示). 解：(1)证明：以C为坐标原点，以边CB，CA所在的直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，如图所示，A(0，m)，B(n，0). 因为D为AB的中点，所以D， 所以||＝，||＝， 所以||＝||，即CD＝AB. (2)因为E为CD的中点，所以E， 设F(x，0)，则＝，＝(x，－m). 因为A，E，F三点共线，所以＝λ. 即(x，－m)＝λ，则 得λ＝，得x＝，所以F， 所以||＝，即AF＝. [规律方法] 向量法求平面几何中的长度问题，即向量长度的求解，一是利用图形特点选择基底，往向量的数量积转化，用公式＝a2求解；二是建立坐标系，确定相应向量的坐标，代入公式求值． 活学活用 用向量的方法证明梯形的中位线定理：梯形的中位线(梯形两腰中点的线段)平行于两底，并且等于两底和的一半． 解：已知梯形ABCD，AB∥DC，E，F分别是AD，CB的中点，求证：EF∥DC，EF∥AB，EF＝. 证明：由题意，得∴＝， 又E，F分别为AD，BC的中点，则＋＝0，＋＝0， ∴＝.因为AB∥CD，不妨设＝λ， 则＝(λ＋)＝(λ＋1)，∴∥， 则EF∥DC，同理EF∥AB. ∵＝(＋)，∴2＝(＋)2＝(2＋2·＋2)＝(||2＋2||·||·cos 0＋||2)＝(＋)2， ∴EF＝，即命题得证． 　　已知e1＝，e2＝，一动点P从P0开始，沿着与向量e1＋e2相同的方向做匀速直线运动，速度的大小为 m/s.另一动点Q从Q0开始，沿着与向量3e1＋2e2相同的方向做匀速直线运动，速度的大小为 m/s，设P，Q在t＝0 s时分别在P0，Q0处，问当⊥P0Q0时，所需的时间t为多少？ 解：根据