6.3 平面向量基本定理及坐标表示-【精彩三年】2022-2023学年新教材高中数学必修第二册教师用书word（人教A版）

6．3　平面向量基本定理及坐标表示 6．3.1　平面向量基本定理 [课程目标] 1.理解平面向量基底的概念；2.掌握平面向量基本定理，能用一组基底表示向量． (见学生用书P13) 知识点　平面向量基本定理 如果e1，e2是同一平面内的两个__不共线向量__，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. 若e1，e2__不共线__，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底． [研读](1)只要是同一平面内两个不共线的向量都可作为一组基底，所以基底的选取不是唯一的； (2)零向量与任一向量都共线，因此零向量不能作为基底； (3)λ1，λ2是唯一的． 判断正误(请在括号中打“√”或“×”). (1)平面内的基底是唯一的．(　×　) (2)三角形的任意两条中位线上的非零向量可以作为基底．(　√　) (3)平面内任意两个向量都可以作为平面内所有向量的一组基底．(　×　) (4)设{e1，e2}是平面内所有向量的一个基底，且a＝e1－2e2，b＝－3e1＋6e2，则也是一个基底．(　×　) 【解析】 (1)平面内的基底并不是唯一的，任意不共线的两个向量都可以作为基底． (2)三角形的任意两条中位线相交，所以任意两条中位线上的非零向量不共线，可以作为基底． (3)平面内不共线的两个向量都可以作为平面内所有向量的一组基底． (4) ∵－3e1＋6e2＝－3 ，∴e1－2e2与－3e1＋6e2共线，故不能作为基底． (见学生用书P14) 　　 如果e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，那么下列选项中说法都不正确的是(　B　) ①λe1＋μe2(λ，μ∈R)可以表示此平面内的所有向量； ②对于这一平面内任一向量a，使a＝λe1＋μe2的实数对(λ，μ)有无穷多个； ③若向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则有且只有一个实数λ，使得λ1e1＋μ1e2＝λ(λ2e1＋μ2e2)； ④若存在实数λ，μ使得λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0. 　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 A．①② B．②③ C．③④ D．②④ [规律方法] 考察两个向量是否能构成基底，主要看两向量是否非零且不共线．此外，一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来． 活学活用 2022•舟山中学高一已知向量a，b是平面内的一组基底，则下列四组向量中也能作为平面向量的一组基底的是(　B　) A．a－b，b－a B．a，b－a C．0，a D．a＋b，2a＋2b 　　 如图，在平行四边形OADB中，设向量＝a，＝b，点M，N是对角线AB上的两点，且BM＝MN＝BA，试用a，b表示与. 解：∵平行四边形OADB，设向量＝a，＝b，点M，N是对角线AB上的两点，且BM＝MN＝BA，∴＝＋＝＋＝＋＝a＋b， ＝＋＝＋＝＋＝a＋b. [规律方法] 用基底表示向量的方法：将两个不共线的向量作为基底表示其他向量，基本方法有两种：一种是运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化，直至用基底表示为止；另一种是通过列向量方程或方程组的形式，利用基底表示向量的唯一性求解． 活学活用 2022•苏州中学高一如图所示，在△ABC中，＝a，＝b，D，F分别为线段BC，AC上一点，且BD＝3DC，CF＝3FA，BF和AD相交于点E. (1)用向量a，b表示； (2)假设＝λ＋(1－λ)＝ν，用向量a，b表示并求出ν的值． 解：(1)由题意＝a，＝b， ∴＝＋＝－a＋(＋)＝－a＋b. (2)由(1)知，＝＋＝－a＋b，而＝＝b， 又＝λ＋(1－λ)＝ν， ∴＝－λa＋(1－λ)b＝ν. ∵a，b不共线，∴－λ＝－ν，(1－λ)＝，解得λ＝，ν＝， ∴＝－a＋b，ν＝. 　　如图，在△ABC中，点M是BC的中点，点N在AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，求AP∶PM与BP∶PN的值． 解：设＝e1，＝e2， 则＝＋＝－3e2－e1， ＝＋＝2e1＋e2. 因为A，P，M三点共线，B，P，N三点共线， 所以存在实数λ，μ使得＝λ＝－λe1－3λe2， ＝μ＝2μe1＋μe2. 故＝＋＝－＝(λ＋2μ)e1＋(3λ＋μ)e2. 而＝＋＝2e1＋3e2，由平面向量基本定理， 得解得所以＝，＝， 所以AP∶PM＝4，BP∶PN＝. [规律方法] (1)若题目中已给出了基底，求解此类问题时，常利用向量加法的三角形法则或平行四边形法则，结合数乘运算找到所求向量与基底的关系； (2)若题目中没有给出基底，常结合已知条件先寻找一组从同一点出发的两个不共线向量作为基底，而后用上述方法求解． 活学活用 2022•山东省实验中学高一如图，在△ABC中，点M是BC的中点，