第6章 培优课 平面向量中的最值（范围）问题(学用Word)(课时跟踪检测)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

培优课　平面向量中的最值（范围）问题 1.已知向量a＝（1，0），b＝（4，m），若｜2a－b｜不超过3，则m的取值范围为（　　） A.[－，] B.[－，] C.[－3，3] D.[－5，5] 2.已知｜a｜＝3，｜b｜＝4，且（a－2b）·（2a＋b）≥4，则a与b的夹角θ的取值范围是（　　） A.［0，］ B.［，］ C.［，π］ D.（，） 3.如图，在△ABC中，点D是线段BC上的动点，且＝x＋y，则＋的最小值为（　　） A.3 B.4 C.5 D.9 4.已知在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝，AB＝2，BC＝4，AD＝1，点P，Q在线段BC上移动，且PQ＝1，则·的最小值为（　　） A.1 B. C. D. 5.已知｜a｜＝2｜b｜≠0，且关于x的方程x2＋｜a｜x＋a·b＝0有实根，则a与b的夹角的取值范围是（　　） A.［0，］ B.［，π］ C.［，］ D.［，π］ 6.〔多选〕如图，在正方形ABCD中，E为AB中点，M为线段AD上的动点，＝λ＋μ，则下列结论正确的是（　　） A.当M为线段AD的中点时，λ＋μ＝ B.λμ的最大值为 C.μ的取值范围为[0，1] D.λ＋μ的取值范围为［，2］ 7.〔多选〕在长方形ABCD中，AB＝8，AD＝6，点E，F分别为边BC和CD上两个动点（含端点），且EF＝5，设＝λ，＝μ，则（　　） A.≤λ≤1，≤μ≤1 B.λ＋μ为定值 C.·的最小值为50 D.｜＋｜的最大值为 8.在△ABC中，·（－4）＝0，则cos A的最小值为　　　　. 9.已知平面向量a，b，c满足a·b＝b·c＝c·a＝－1，｜a｜＝1，｜b｜≥2，若c＝xa＋yb，x，y∈R，则x＋y的取值范围是　　　　. 10.如图所示，在Rt△ABC中，已知BC＝a，若长为2a的线段PQ以点A为中点，则当与的夹角θ＝　　　　时，·的值最大，最大值为　　　　. 11.在平面直角坐标系xOy中，已知点A（3，3），B（5，1），P（2，1）. （1）求｜－｜的值； （2）若点N是直线OP上的动点，求·的最小值. 12.（1）求函数y＝12＋5的最大值； （2）求＋的最小值. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 培优课　平面向量中的最值（范围）问题 1.B　由题意知，2a－b＝（－2，－m），所以｜2a－b｜＝≤3，得4＋m2≤9，即m2≤5，解得－≤m≤，即实数m的取值范围为[－，].故选B. 2.C　（a－2b）·（2a＋b）＝2a2＋a·b－4a·b－2b2＝2×9－3｜a｜｜b｜cos θ－2×16＝－14－3×3×4cos θ≥4，所以cos θ≤－，所以θ∈［，π］. 3.D　由图可知x，y均为正数，且x＋y＝1，∴＋＝（＋）（x＋y）＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当＝，即x＝，y＝时，等号成立，则＋的最小值为9. 4.D　如图，以B为坐标原点，BC所在的直线为x轴，过点B且垂直于BC的直线为y轴建立平面直角坐标系， 因为AD∥BC，∠ABC＝，AB＝2，AD＝1，所以D（2，）.不妨设P（x，0），Q（x＋1，0）（0≤x≤3），则＝（x－2，－），＝（x－1，－），所以·＝（x－2）（x－1）＋3＝x2－3x＋5＝（x－）2＋，所以当x＝时，·取得最小值. 5.B　由于｜a｜＝2｜b｜≠0，且关于x的方程x2＋｜a｜x＋a·b＝0有实根，则｜a｜2－4a·b≥0，设向量a，b的夹角为θ，cos θ＝≤＝，所以θ∈［，π］.故选B. 6.ABC　以B为原点，，分别为x，y轴正方向建立平面直角坐标系，设BC＝2，则B（0，0），E（0，1），D（2，2），设M（t，2），则0≤t≤2，因为＝λ＋μ，所以（t，2）＝λ（0，1）＋μ（2，2）＝（2μ，λ＋2μ），所以2μ＝t，λ＋2μ＝2，即λ＝2－t，μ＝，对于选项A，因为M为线段AD的中点，所以t＝1，故λ＋μ＝2－＝，A正确；对于选项B，λμ＝（2－t）＝t－t2，0≤t≤2，当t＝1时，λμ取最大值为，B正确；对于选项C，因为μ＝，0≤t≤2，所以0≤μ≤1，μ的取值范围为[0，1]，C正确；对于选项D，λ＋μ＝2－，0≤t≤2，所以1≤λ＋μ≤2，所以λ＋μ的取值范围为[1，2]，D错误.故选A、B、C. 7.AC　对于A，当F和C重合时，BE＝1，此时λ取最小值，μ取到最大值1；当E和C重合时，DF＝3，此时μ取最小值，λ取到最大值1，A正确；对于B，当F和C重合时，λ＝，μ＝1，λ＋μ＝；当E和C重合时，λ＝1，μ＝，λ＋μ＝，B错误；对于C，·＝（＋）·（＋）＝（＋λ）·（＋μ）＝·＋λ·＋μ·＋λμ·＝λ·＋μ·＝λ＋μ＝36λ＋64μ，由EF＝5，得＝25，即（＋）2＝25，即[（1－λ）＋（μ－1）]2＝25，即36（1－λ）2＋64（μ－1）2＝25，设6（λ－1）＝5cos θ，8（μ－1）＝5sin θ，θ∈［π，］，则36λ＋64μ＝36×（＋1）＋64×（＋1）＝100＋30cos θ＋40sin θ＝100＋50sin（θ＋φ）（φ为辅助角tan φ＝），当sin（θ＋φ）＝－1时，36λ＋64μ取到最小值50，即·的最小值为50，C正确；对于D，当μ＝1，λ＝时，＋＝＋＋＝2＋，则｜＋｜＝＝＝＝＞，故D错误.故选A、C. 8.　解析：在△ABC中，＝－，所以·（－4）＝（－）·（－4）＝－4｜｜2－｜｜2＋5·＝－4｜｜2－｜｜2＋5｜｜·｜｜cos A＝0，在△ABC中，设｜｜＝b，｜｜＝c，则有－4b2－c2＋5bccos A＝0，所以cos A＝≥＝，当且仅当2b＝c时，等号成立. 9.［－，－1）　解析：设a＝（1，0），由a·b＝c·a＝－1，可设b＝（－1，m），c＝（－1，n），因为｜b｜2＝1＋m2≥4⇒m2≥3，又c＝xa＋yb＝（x－y，my）＝（－1，n），所以而b·c＝1＋mn＝－1⇒mn＝－2，所以x＋y＝－1＋2y＝－1＋2×＝－1－，又因为m2≥3，所以x＋y∈［－，－1）. 10.0　0　解析：把，用，，表示出来，然后作数量积，＝＋＝－，＝＋＝＋，则·＝（－）·（＋）＝·－·＋·－｜｜2＝－（＋）－a2＝－·－a2＝a2cos θ－a2（其中θ为与的夹角）.∴当cos θ＝1时，·有最大值0，即当θ＝0（与的方向相同）时，·的值最大，最大值为0. 11.解：（1）由题意可知＝（1，2），＝（3，0），∴－＝（－2，2），∴｜－｜＝＝2. （2）如图所示，易知直线OP为y＝x，不妨设N（2a，a），则·＝（3－2a，3－a）·（5－2a，1－a）＝5a2－20a＋18＝5（a－2）2－2≥－2，当且仅当a＝2，即N（4，2）时，·取得最小值－2. 12.解：（1）设a＝（12，5），b＝（，）， 则｜a｜＝13，｜b｜＝3. 由｜a·b｜≤｜a｜｜b｜，得y＝｜a·b｜≤｜a｜｜b｜＝39， 当且仅当a与b共线时，等号成立，则有12－5＝0， 解得x＝，即当x＝时，ymax＝39. （2）设a＝（x－2，3），b＝（5－x，1），则 ｜a｜＝，｜b｜＝， ∴＋＝｜a｜＋｜b｜≥｜a＋b｜. 又∵a＋b＝（3，4），∴｜a＋b｜＝＝5. ∴＋≥5. ∴＋的最小值为5. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $