6.2 平面向量的运算-【精彩三年】2022-2023学年新教材高中数学必修第二册教师用书word（人教A版）

6．2 平面向量的运算 6．2.1　向量的加法运算 [课程目标] 1.理解并掌握向量加法的概念，了解向量加法的物理意义及其几何意义；2.掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能熟练地运用这两个法则作两个向量的加法运算；3.了解向量加法的交换律和结合律，并能依据几何意义作图解释向量加法运算律的合理性． (见学生用书P4) 知识点一　向量的加法 (1)定义：求__两个向量和__的运算，叫做向量的加法． (2)三角形法则：如图，已知非零向量a，b，在平面内取任意一点A，作＝a，＝b，则向量叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝＋＝.上述求两个向量和的方法，称为向量加法的三角形法则． (3)平行四边形法则：如图，以同一点O为起点的两个已知不共线向量a，b，以OA，OB为邻边作▱OACB，则__以O为起点__的向量(OC是▱OACB的对角线)就是向量a与b的和．这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则． (4)对于零向量与任意向量a的和，规定：a＋0＝0＋a＝a. (5)由向量的加法运算法则及三角形三边的关系易得：|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当a，b方向相同时等号成立． 知识点二　向量加法的运算律 (1)向量加法的交换律：a＋b＝__b＋a__； (2)向量加法的结合律：(a＋b)＋c＝__a＋(b＋c)__． [研读]向量求和的多边形法则： (1)已知n个向量，依次首尾相接，则由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量即为这n个向量的和．这称为向量求和的多边形法则； (2)首尾顺次相接的若干个向量若构成一个封闭图形，则它们的和为0. 判断正误(请在括号中打“√”或“×”). (1)求两向量和的三角形法则的实质是两向量“首尾相接”．(　√　) (2)在任意四边形ABCD中，都有＝＋＋.(　×　) (3)用平行四边形法则求向量和时，要将向量的起点平移到同一个点上．(　√　) (4)在正方形ABCD中，E，F，G，H分别是AD，DC，BC，AB的中点，则＋＋＝.(　√　)(见学生用书P4) 　　 (1)如图1，已知向量a，b，求作向量a＋b； (2)如图2，已知向量a，b，c，求作向量a＋b＋c. 解：(1)如图1，在平面内任取一点O，作＝b，＝a，则＝a＋b. 图1 　　　图2 (2)如图2，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，＝c，以OA，OC为邻边作▱OADC，则＝a＋b＋c.(答案不唯一) [规律方法] 向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别和联系． 区别：(1)三角形法则中强调“首尾相接”，平行四边形法则中强调的是“共起点”；(2)三角形法则适用于任意两个非零向量求和，而平行四边形法则仅适用于不共线的两个向量求和． 联系：(1)当两个向量不共线时，向量加法的三角形法则和平行四边形法则是统一的；(2)三角形法则作出的图形的面积是平行四边形法则作出的图形的面积的一半． 活学活用 如图所示，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b＋c. 解：如图，在平面内作＝a，＝b， 则＝a＋b；再作＝c，则＝a＋b＋c. (答案不唯一) 　　 (1)化简：①＋＋； ②＋＋＋＋＋. (2)已知O为正六边形ABCDEF的中心，求下列向量： ①＋；②＋；③＋. 解：(1)①＋＋＝＋＋＝＋＝0； ②＋＋＋＋＋＝＋＋＋＋＋＝. (2)①由图知，四边形OAFE为平行四边形，所以＋＝； ②由图知，四边形OABC为平行四边形， 所以＋＝； ③由图知，四边形AEDB为平行四边形， 所以＋＝. [规律方法] (1)根据向量加法的交换律使各向量首尾连接，再运用向量的结合律调整向量顺序后相加； (2)向量求和的多边形法则：A1A2＋A2A3＋A3A4＋…＋An－1An＝A1An． 特别地，当An和A1重合时，A1A2＋A2A3＋A3A4＋…＋An－1A1＝0. 活学活用 如图，已知四边形ABCD是平行四边形，且E，F，G，H分别是所在边的中点，点O是对角线的交点，则下列各式中正确的有__①③__(填序号). ①＋＝；②＋＝＋； ③＋＝＋；④＋＝. 【解析】 ＋＝，又＝，所以＋＝，故①正确. 因为＝，所以＋＝＋＝， 因为＝，所以＋＝＋＝， 而≠，所以＋≠＋，故②不正确． 因为＝，所以＋＝＋＝. 因为＋＝＋＝，而＝，故③正确． 因为＝，所以＋＝＋＝， 而≠，所以＋≠，故④不正确． 　　2022•衡阳八中高一有一条东西方向的河流(假设河流宽度一样)，一艘快艇从河南岸出发渡河，快艇航行速度的大小为2 m/s，方向为北偏西30°，河水的速度为向正东1 m/s，经过20 s到达北岸，现快艇从北岸返回，速度大小不变，方向为正南，从北岸出发返回南岸的时间是__10__s__． 【解析】 如图所示，由题意知，||＝2 m/s，||＝1 m/s，所以||