6.1 平面向量的概念-【精彩三年】2022-2023学年新教材高中数学必修第二册教师用书word（人教A版）

第六章　平面向量及其应用 6．1　平面向量的概念 6．1.1　向量的实际背景与概念 6．1.2　向量的几何表示 6．1.3　相等向量与共线向量 [课程目标] 1.能结合物理中的力、位移、速度等具体背景认识向量，掌握向量与数量的区别；2.会用有向线段作向量的几何表示，了解有向线段与向量的联系与区别；3.理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量及向量的模等概念，会辨识图形中这些相关的向量． (见学生用书P1) 知识点一　向量的实际背景与概念 (1)向量：既有__大小__又有__方向__的量叫做向量． (2)数量：只有__大小__没有__方向__的量称为数量． [研读](1)向量只有大小和方向，而无特定的位置，向量可以作任意平移； (2)判断一个量是不是向量，要看它是否具备了大小和方向两个要素； (3)向量与数量的区别：数量与数量之间可以比较大小，而向量与向量之间不能比较大小． 知识点二　向量的几何表示 (1)有向线段 ①有向线段是具有__方向__的线段，如图所示．通常在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向．以A为起点、B为终点的有向线段记作. ②有向线段包含三个要素：__起点__、__方向__、__长度__．知道了有向线段的起点、方向和长度，它的终点就唯一确定了． (2)向量的几何表示 ①向量可以用__有向线段__表示，此时有向线段的方向就是向量的方向．通常在印刷时用黑体小写字母a，b，c，…表示向量，书写时用　，， ，…表示向量；也可以用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，例如：，. ②向量的大小称为向量的__长度__(或称__模__)，记作__||__．长度为0的向量叫做零向量，记作0，长度等于1个单位长度的向量，叫做__单位向量__． [研读]向量与有向线段的区别和联系： (1)区别：从定义上看，向量有大小和方向两个要素，而有向线段有起点、方向和长度三个要素，因此它们是两个不同的量．在空间中，有向线段是固定的，而向量是可以自由平移的． (2)联系：向量可以用有向线段表示，但并不能说向量就是有向线段． 判断正误(请在括号中打“√”或“×”). (1)有向线段就是向量，向量就是有向线段．(　×　) (2)两个向量可以比较大小．(　×　) 知识点三　相等向量与共线向量 (1)平行向量 ①定义：方向__相同__或__相反__的非零向量叫做平行向量，向量a与b平行，记作a∥b. ②规定：零向量与任意向量平行，即对于任意向量a，都有0∥a. ③共线向量：任意一组平行向量都可以平移到同一条直线上，因此，__平行向量__也叫做共线向量． (2)相等向量：__长度__相等且方向相同的向量叫做相等向量，向量a与b相等，记作a＝b.任意两个相等的非零向量，都可用同一条__有向线段__表示，并且与有向线段的起点无关；同时，两条方向相同且长度相等的有向线段表示同一个向量，因为向量完全由它的__模和方向__确定． [研读](1)平行向量与共线向量是同一概念的不同名称．根据定义可知，平行(共线)向量所在的直线可以平行，也可以重合； (2)共线向量所在的直线可以平行，与平面几何中的“共线”含义不同； (3)平行向量可以在同一条直线上，与平面几何中“线线平行”不同，平面中两直线平行是指两直线没有公共点． 判断正误(请在括号中打“√”或“×”). (1)共线向量就是相等向量．(　×　) (2)零向量与任意向量平行．(　√　) (3)平行向量都在同一条直线上．(　×　)(见学生用书P2) 　　给出下列命题： ①两个向量，当且仅当它们的起点相同，终点相同时才相等； ②若平面上所有单位向量的起点移到同一个点，则其终点在同一个圆上； ③在菱形ABCD中，一定有＝； ④若a∥b，b∥c，则a∥c. 其中所有正确命题的序号为__②③__． 【解析】 两个向量相等只要模相等且方向相同即可，与起点和终点的位置无关，故①不正确． 单位向量的长度为1，当所有单位向量的起点在同一点O时，终点都在以O为圆心，1为半径的圆上，故②正确． 若b＝0，a与c不一定平行．因此④不正确． ③显然正确． 故所有正确命题的序号为②③. [规律方法] 1．判断一个量是不是向量的方法：(1)是否有大小；(2)是否有方向． 2．理解零向量和单位向量： (1)零向量的方向是任意的，所有的零向量都相等． (2)单位向量不一定相等，单位向量的方向可能不同． 　　 一辆汽车从A地出发向西行驶了100 km到达B地，然后改变方向向西偏北50°走了200 km到达C地，又改变方向，向东行驶了100 km到达D地． (1)作出向量，，. (2)求||的值． 解：(1)向量，，如右图所示． (2)由题意，易知与方向相反， 故与共线． 又||＝||，所以在四边形ABCD中， AB∥CD，且AB