阶段小卷（三）6.4-【精彩三年】2022-2023学年新教材高中数学必修第二册教师用书word（人教A版）

阶段小卷(三)[6.4] (见学生用书P211) [时间：40分钟　满分：100分] 　　　　　　　　　　 　　　　 　　　 一、单项选择题(本题共7小题，每小题5分，满分35分) 1．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为，则C＝(　D　) A． B． C． D． 2．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos2＝，则△ABC的形状为(　A　) A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．等腰或直角三角形 D．等边三角形 3．2022·南通海门中学高一若△ABC的三个内角A，B，C满足sinA∶sin B∶sin C＝2∶3∶4，则sin A＝(　C　) A． B． C． D． 【解析】 因为a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶4，由余弦定理的推论可得cos A＝＝，所以A为锐角，故sin A＝＝. 4．2022·张家界慈利一中高一在△ABC中，若a＝6，b＝6，A＝30°，则B为(　B　) A．60° B．60°或120° C．60°或150° D．120° 【解析】a<b⇒A<B⇒B>30°，由正弦定理可知＝， ∴sin B＝＝＝. ∵30°<B<150°，∴B＝60°或120°. 5．2022·杭州外国语高一在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a＝2c，若3sin C＝2sin B，则cos A的值为(　D　) A． B． C．－ D．－ 【解析】 因为3sin C＝2sin B，由正弦定理可得3c＝2b，所以b＝.又a＝2c， 所以cos A＝＝＝－. 6．2022·杭十四高一一个骑行爱好者从A地出发向西骑行了2 km到达B地，然后再由B地向北偏西60°骑行2 km到达C地，再从C地向南偏西30°骑行了5 km到达D地，则A地到D地的直线距离是(　B　) A．8 km B．3 km C．3 km D．5 km 【解析】 如图，在△ABC中，∠ABC＝150°，AB＝2，BC＝2，依题意，∠BCD＝90°， 在△ABC中，由余弦定理得， AC＝ ＝＝2， 由正弦定理得，sin ∠ACB＝＝， 在△ACD中，cos ∠ACD＝cos (90°＋∠ACB)＝ －sin ∠ACB＝－，由余弦定理得， AD＝ ＝＝3， 所以A地到D地的直线距离是3 km. 7．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b2－bc－2c2＝0，a＝3，则△ABC的面积的最大值为(　A　) A．3 B．6 C．3 D．6 【解析】 因为b2－bc－2c2＝0，所以＝0，又b＋c>0，所以b＝2c.又a＝3，由余弦定理的推论得cos A＝＝，由面积公式得S△ABC＝bc sin A＝c2·＝，由三角形三边关系得解得1<c<3，故当c＝时，△ABC的面积取得最大值，此时面积为3. 二、多项选择题(本题共2小题，每小题5分，满分10分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分) 8．2022·台州书生中学高一在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列结论中正确的是(　ACD　) A．若a>b，则sin A>sin B B．已知在△ABC中，A＝，a＝3，b＝2，则△ABC有两解 C．若△ABC是钝角三角形，则tan A·tan C<1 D．若A＝60°，a＝2，则△ABC面积的最大值为 【解析】 对于A，由a>b，可得2R sin A>2R sin B，可得sin A>sin B，所以A正确． 对于B，在△ABC中，A＝，a＝3，b＝2，由正弦定理知＝，即sin B＝＝＝1，因为B∈(0，π)，可得B＝，所以△ABC只有一解，所以B错误． 对于C，由△ABC是钝角三角形，不妨设A∈， 当C为钝角时，可得tan C<0，tan A>0，此时tan A·tan C<0，符合题意； 当C为锐角时，可得A＋C<，即A<－C，且－C∈， 由函数y＝tan x在上单调递增，可得tan A<tan ，即tan C<，所以tan A·tan C<1，所以C正确． 对于D，因为A＝60°，a＝2，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos A， 即4＝b2＋c2－2bc cos 60°＝b2＋c2－bc≥2bc－bc＝bc， 当且仅当b＝c时，等号成立，所以bc≤4，即bc的最大值为4， 所以△ABC面积的最大值为bc sin A＝×4sin 60°＝，所以D正确． 9．a，b，c为△ABC的三边，下列条件中能判定△ABC为等腰直角三角形的为(　ABD　) A．·＝0且＝ B．