7.3 复数的三角形式-2022-2023学年高一数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列（人教A版2019必修第二册）

7.3复数的三角形式 【考点梳理】 考点一、复数的三角形式的概念 1.复数的辐角 (1)定义：以x轴的非负半轴为始边、向量所在的射线(起点是原点O)为终边的角θ叫作复数z=a+bi的辐角。 (2)辐角主值 [0，2)内的辐角θ的值叫作复数z=a+bi的辐角主值，记作arg z，即0≤arg z<2。非零复数与它的模和辐角主值一一对应。 (3)常用的有关辐角主值的结论 当aR+ 时arg a=0 ，arg(-a)=,arg(ai)=，arg(-ai)=，arg0可以是[0，2π)中的任一角。 2.复数相等两个非零的复数相等，当且仅当它们的模与辐角主值分别相等。 3.复数的三角形式 复数z=a+bi可以用复数的模r和辐角θ来表示：z=r(cosθ+isinθ)，其中，，。r(cosθ+isinθ)叫作复数z的三角形式，而a+bi叫作复数z的代数形式。 考点二、复数的三角形式的乘除法 1.复数的乘法与乘方把复数，分别写成三角形式 (cosθ2+isin。则 。这就是说，两个复数相乘，其积的模等于这两个复数的模的积，其积的辐角等于这两个复数的辐角的和.上面的结果可以推广到n个复数相乘： =。 因此，如果 就有 [。 这就是说，复数的 次幂的模等于这个复数的模的n次幂，它的辐角等于这个复数的辐角的n倍。 2.复数的除法 设 则z₁除以z₂的商：)]。 这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差。 【题型归纳】 题型一：复数的三角表示 1．（2023·高一课时练习）以下不满足复数的三角形式的是（    ）． A．； B．； C．； D．． 2．（2022·高一课时练习）设，则复数的辐角主值为（    ） A． B． C． D． 3．（2022春·广东珠海·高一珠海市第二中学校考期中）复数的三角形式是（    ） A． B． C． D． 题型二：复数的辐角 4．（2022春·新疆巴音郭楞·高一校考期末）任意复数（、，为虚数单位）都可以写成的形式，其中该形式为复数的三角形式，其中称为复数的辐角主值.若复数，则的辐角主值为（    ） A． B． C． D． 5．（2021·高一课时练习）复平面内，向量对应复数的共轭复数为，则对应复数的幅角主值为（    ） A． B． C． D． 6．（2022春·河北张家口·高一统考期末）欧拉公式是由18世纪瑞士数学家、自然科学家莱昂哈德·欧拉发现的，被誉为数学上优美的数学公式.已知，则（    ） A． B． C． D． 题型三：复数的乘、除运算的三角表示及及其几何意义 7．（2022·高一课时练习）复数都可以表示，其中为的模，称为的辐角．已知复数满足 ，则的辐角为（    ） A． B． C． D． 8．（2021·高一课时练习）计算： (1)(2) (3)(4) 9．（2020·高一） （1） 计算：4(cos80°＋isin80°)÷[2(cos320°＋isin320°)]； （2）已知复数z＝r(cosθ＋isinθ)，r≠0，求的三角形式. 【双基达标】 一、单选题 10．（2023·高一课时练习）下列结论中正确的是（    ）． A．复数z的任意两个辐角之间都差的整数倍； B．任何一个非零复数的辐角有无数个，但辐角主值有且只有一个； C．实数0不能写成三角形式； D．复数0的辐角主值是0． 11．（2023·高一课时练习）已知为虚数单位，，，则等于（    ） A． B． C． D． 12．（2023·高一课时练习）欧拉公式建立了三角函数和指数函数的关系，被誉为“数学中的天桥”，现有以下两个结论：①；②．下列说法正确的是（    ） A．①②均正确 B．①②均错误 C．①对②错 D．①错②对 13．（2022·高一课时练习）已知复数，则（    ）． A． B． C． D． 14．（2022·高一课时练习）复数化成三角形式，正确的是（    ） A． B． C． D． 15．（2023·高一课时练习）回答下面两题 (1)求证：； (2)写出下列复数z的倒数的模与辐角： ①；②；③． 16．（2023·高一课时练习）设复数，求证： (1)，，1都是1的立方根； (2)． 【高分突破】 一、单选题 17．（2022春·上海松江·高一上海市松江二中校考期末）设，则下列命题中的真命题为（    ） A．若，则 B．若，则为纯虚数 C．若，则或 D．若，则 18．（2022·全国·高一假期作业）欧拉公式（为虚数单位，）是由数学家欧拉创立的，该公式建立了三角函数与指数函数的关联，被誉为“数学中的天桥”.依据欧拉公式，下列选项正确的是（    ） A．的虚部为 B． C． D．的共轭复数为 19．（2022·全国·高一假期