大题分项练(5) 解析几何（专题微测Word）-【赢在微点·考前顶层设计】2023老高考数学理科大二轮专题复习

大题分项练(5)　解析几何 1.如图,椭圆C:+=1(a>b>0)的右焦点为F ,右顶点、上顶点分别为A,B,且|AB|=|BF |。 (1)求椭圆C的离心率; (2)若斜率为2的直线l过点(0,2),且l交椭圆C于P,Q两点,OP⊥OQ,求直线l的方程及椭圆C的方程。 解　(1)由已知|AB|=|BF |,即=a,4a2+4b2=5a2,4a2+4(a2-c2)=5a2,所以e==。 (2)由(1)知a2=4b2,所以椭圆C:+=1。设P(x1,y1),Q(x2,y2),直线l的方程为y-2=2(x-0),即2x-y+2=0。由消去y,得x2+4(2x+2)2-4b2=0,即17x2+32x+16-4b2=0。Δ=322+16×17(b2-4)>0,解得b>。x1+x2=-,x1x2=。因为OP⊥OQ,所以·=0,即x1x2+y1y2=0,x1x2+(2x1+2)(2x2+2)=0,5x1x2+4(x1+x2)+4=0。从而-+4=0,解得b=1,满足b>。所以椭圆C的方程为+y2=1。 2.(2022·如东调研)在平面直角坐标系中,O为坐标原点,抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F ,抛物线C上不同的两点M,N同时满足下列三个条件中的两个: ①|F M|+|F N|=|MN|;②|OM|=|ON|=|MN|=8;③直线MN的方程为y=6p。 (1)请分析说明两点M,N满足的是哪两个条件,并求抛物线C的标准方程; (2)若直线l与抛物线C相切于点P,直线l与椭圆D:+=1相交于A,B两点,直线l与直线y=-相交于点Q,以PQ为直径的圆与直线y=-相交于Q,Z两点,求证:直线OZ经过线段AB的中点。 解　(1)若同时满足条件①②,由①|F M|+|F N|=|MN|,可得MN过抛物线C的焦点F 0,,当|OM|=|ON|时,|MN|=2p,而|OM|=|ON|=p≠|MN|,所以①②不能同时成立;若同时满足条件①③,由①|F M|+|F N|=|MN|,可得MN过抛物线C的焦点F 0,,因为直线y=6p不可能过焦点F 0,,所以①③不能同时成立;只能同时满足条件②③,因为|OM|=|ON|=|MN|=8,且直线MN的方程为y=6p,所以6p=12,解得p=2,所以抛物线C的标准方程为x2=4y。 (2)证明:设Pt,,抛物线C的标准方程为x2=4y,由y=得y'=,故直线AB的斜率kAB=,设A(x1,y1),B(x2,y2),则两式相减可得=-=-=-,令AB的中点为G,则G,,所以kOG=-,因为PQ为圆的直径,所以QZ⊥PZ,故Z(t,-),直线OZ的斜率kOZ=-,则kOG=kOZ,所以O,G,Z三点共线,故直线OZ经过线段AB的中点。 3.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的离心率为2,且过点(2,3)。 (1)求双曲线C的方程; (2)设点B,F 分别为双曲线C的右顶点、左焦点,点A为C上位于第二象限的动点,是否存在常数λ,使得∠AF B=λ∠ABF ?如果存在,求出λ的值;如果不存在,请说明理由。 解　(1)因为双曲线C的离心率e==2,所以c=2a,又b2=c2-a2=3a2,所以双曲线C的方程为-=1,把点(2,3)代入双曲线C的方程,得-=1,解得a2=1,故双曲线C的方程为x2-=1。 (2)由(1)知双曲线C的方程为x2-=1,所以B(1,0),F (-2,0)。 ①当直线AF 的斜率不存在时,∠AF B=90°,|F B|=3,|AF |=3,所以∠ABF =45°,此时λ=2。 ②当直线AF 的斜率存在时,设∠AF B=α,∠ABF =β,A(x0,y0),其中x0<-1,y0>0,双曲线C的渐近线方程为y=±x,所以α∈0,,β∈0,,又tan α=,tan β=-,所以tan 2β=======tan α,又α,2β∈0,,所以α=2β,综上,存在常数λ=2,使得∠AF B=2∠ABF 。 4.(2022·青岛质检)已知O为坐标原点,抛物线C:y2=2px(p>0)的准线与圆O:x2+y2=5交于M,N两点,抛物线C与圆O交于M',N'两点,且|MN|=|M'N'|。 (1)求抛物线C的标准方程; (2)动点G在抛物线C的准线上,直线AB与抛物线C交于A,B两点,直线A'B'与抛物线C交于A',B'两点,直线AB与A'B'的交点为G,且|GA|·|GB|=2|GA'|·|GB'|。设直线AB,A'B'的斜率分别为k1,k2,证明:-为定值。 解　(1)由对称性可知,M'N'⊥x轴,所以MN∥M'N',根据题意,设|MN|=|M'N'|=a,则点O到MN的距离与点O到M'N'的距离相等,所以直线M'N'过抛物线C的焦点,设M',y0,由得p=2或p=-2(舍去)。所以抛物线C的标准方