专题四 第3讲 立体几何中的向量方法（专题微讲Word）-【赢在微点·考前顶层设计】2023老高考数学理科大二轮专题复习

第3讲　立体几何中的向量方法 命|题|分|析 　　高考对立体几何在解答题中的考查比较稳定,空间线面位置关系中的平行或垂直的证明,空间角的计算是热点,题型主要有: 1.空间位置关系的证明。 2.求空间角或其某一种三角函数值。 考点整合真题感悟 [核心提炼] 　　1.直线与平面、平面与平面的平行与垂直的向量方法 设直线l的方向向量为a=(a1,b1,c1),平面α,β的法向量分别为μ=(a2,b2,c2),v=(a3,b3,c3),则 (1)线面平行 l∥α⇔a⊥μ⇔a·μ=0⇔a1a2+b1b2+c1c2=0。 (2)线面垂直 l⊥α⇔a∥μ⇔a=kμ⇔a1=ka2,b1=kb2,c1=kc2。 (3)面面平行 α∥β⇔μ∥v⇔μ=λv⇔a2=λa3,b2=λb3,c2=λc3。 (4)面面垂直 α⊥β⇔μ⊥v⇔μ·v=0⇔a2a3+b2b3+c2c3=0。 2.空间向量与空间角 设直线l,m的方向向量分别为a=(a1,b1,c1),b=(a2,b2,c2),平面α,β的法向量分别为μ=(a3,b3,c3),v=(a4,b4,c4)。 (1)异面直线所成的角 设l,m的夹角为θ0<θ≤,则cos θ==; (2)线面角:设直线l与平面α的夹角为θ0≤θ≤,则sin θ=|cos<a,μ>|=; (3)二面角:设平面α与平面β的夹角为θ,则cos θ= [真题体验] 1.(2022·全国甲卷) 在四棱锥P⁃ABCD中,PD⊥底面ABCD,CD∥AB,AD=DC=CB=1,AB=2,DP=。 (1)证明:BD⊥PA; (2)求PD与平面PAB所成的角的正弦值。 解　(1)证明:因为CD∥AB,AD=CB=1,DC≠AB,所以四边形ABCD是等腰梯形。如图,过点C作CE⊥AB于点E,过点D作DF ⊥AB于点F ,则AF =BE=(AB-CD)=,CD=EF 。又AD=1,所以DF ==。又BF =EF +BE=,所以BD==。 又AD=1,AB=2,所以AD2+BD2=AB2,所以AD⊥BD。因为PD⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,所以PD⊥BD。又AD∩PD=D,所以BD⊥平面PAD。因为PA⊂平面PAD,所以BD⊥PA。 (2)如图,以D为原点,DA,DB,DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则D(0,0,0),A(1,0,0),B(0,,0),P(0,0,),所以=(0,0,-),=(1,0,-),=(0,,-)。设平面PAB的法向量为n=(x,y,z)。由得令z=1,得x=,y=1,则n=(,1,1)。设直线PD与平面PAB所成的角为θ,则sin θ=|cos<n,>|===。所以PD与平面PAB所成的角的正弦值为。 2.(2022·新高考全国Ⅰ卷) 如图,直三棱柱ABC⁃A1B1C1的体积为4,△A1BC的面积为2。 (1)求A到平面A1BC的距离; (2)设D为A1C的中点,AA1=AB,平面A1BC⊥平面ABB1A1,求二面角A⁃BD⁃C的正弦值。 解　(1)设点A到平面A1BC的距离为h。因为===,所以··h=。又因为=2,所以h=。所以点A到平面A1BC的距离为。 (2)如图,取A1B的中点E,连接AE。因为AA1=AB,所以AE⊥A1B。因为平面A1BC⊥平面ABB1A1,平面A1BC∩平面ABB1A1=A1B,AE⊂平面ABB1A1,所以AE⊥平面A1BC,所以AE=h=,则AA1=AB=2。因为AE⊥平面A1BC,BC⊂平面A1BC,所以AE⊥BC。又AA1⊥平面ABC,所以A1A⊥BC,又AE∩A1A=A,所以BC⊥平面ABB1A1。因为AB⊂平面ABB1A1,所以BC⊥AB。由=S△ABC·A1A=AB·BC·A1A=×2×BC×2=4,解得BC=2。以B为坐标原点,分别以BC,BA,BB1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立如图的空间直角坐标系。易得B(0,0,0),A(0,2,0),E(0,1,1),D(1,1,1)。所以=(0,-1,1),=(1,1,1),=(0,2,0)。由题意,得平面BDC的法向量为n1==(0,-1,1)。设平面BDA的法向量为n2=(x,y,z),则所以令x=1,则y=0,z=-1,所以n2=(1,0,-1),所以cos<n1,n2>===-。设二面角A⁃BD⁃C的平面角为α,则sin α==,所以二面角A⁃BD⁃C的正弦值为。 3.(2021·全国甲卷)已知直三棱柱ABC⁃A1B1C1中,侧面AA1B1B为正方形,AB=BC=2,E,F 分别为AC和CC1的中点,D为棱A1B1上的点,BF ⊥A1B1。 (1)证明:BF ⊥DE; (2)当B1D为何值时,面BB1C1C与面DF E所成的二面角的正弦值最小? 解　(1)证明:因为直三棱柱ABC⁃A1