专题六第四讲　利用导数研究函数的综合问题-【创新思维】2023高考二轮数学专题复习配套PPT课件，多选（新教材新高考）

第四讲　利用导数研究函数的综合问题 高考集训 考情分析 二轮 · 数学 本讲一直是高考的重点和难点，主要以导数为工具，通过研究函数的单调性、极值和最值求解不等式的证明问题、恒成立问题、有解问题和函数零点问题．考查形式以解答题为主，难度较大. 高考集训 考情分析 二轮 · 数学 1．(2021·新高考全国Ⅰ卷)已知函数f(x)＝x(1－ln x)． (1)讨论f(x)的单调性； 高考集训 考情分析 二轮 · 数学 高考集训 考情分析 二轮 · 数学 高考集训 考情分析 二轮 · 数学 则F′(x)＝f′(x)＋f′(2－x) ＝－ln x－ln(2－x)＝－ln[x(2－x)]， 当0<x<1时，x(2－x)<1， 则－ln[x(2－x)]>0， 即当0<x<1时，F′(x)>0，所以F(x)在(0,1)上单调递增， 所以当0<x<1时，F(x)<F(1)＝0， 所以当0<x<1时，f(x)－f(2－x)<0成立，所以x1＋x2>2成立． 再证x1＋x2<e： 高考集训 考情分析 二轮 · 数学 由(1)知，f(x)的极大值点为x＝1，f(x)的极大值为f(1)＝1， 过点(0,0)，(1,1)的直线方程为y＝x. 设f(x1)＝f(x2)＝m， 当x∈(0,1)时，f(x)＝x(1－ln x)>x， 直线y＝x与直线y＝m的交点坐标为(m，m)，则x1<m.欲证x1＋x2<e， 即证x1＋x2<m＋x2＝f(x2)＋x2<e， 即证当1<x<e时，f(x)＋x<e. 高考集训 考情分析 二轮 · 数学 高考集训 考情分析 二轮 · 数学 2．(2022·新高考全国Ⅰ卷)已知函数f(x)＝ex－ax和g(x)＝ax－ln x有相同的最小值． (1)求a； 高考集训 考情分析 二轮 · 数学 高考集训 考情分析 二轮 · 数学 (2)证明：存在直线y＝b，其与两条直线y＝f(x)和y＝g(x)共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列． (2)证明：由(1)知，f(x)＝ex－x，g(x)＝x－ln x，当x＜0时，f(x)单调递减，当x＞0时，f(x)单调递增； 当0＜x＜1时，g(x)单调递减，当x＞1时，g(x)单调递增．不妨设直线y＝b与y＝f(x)的图象的两交点的横坐标分别为x1，x2，与y＝g(x)的图象的两交点的横坐标分别为x2，x3，且x1＜x2＜x3. 则ex1－x1＝ex2－x2＝x2－ln x2＝x3－ln x3，∴ex1－x1＝x2－ln x2＝eln x2－ln x2. 高考集训 考情分析 二轮 · 数学 易知x1∈(－∞，0)，x2∈(0,1)，则ln x2∈(－∞，0)，又f(x)在(－∞，0)上单调递减，∴x1＝ln x2， 同理x2＝ln x3，x3＝ex2. 又ex2－x2＝x2－ln x2，∴ln x2＋ex2＝2x2. ∴x1＋x3＝ln x2＋ex2＝2x2. ∴x1，x2，x3成等差数列． 高考集训 考情分析 二轮 · 数学 $