专题六第四讲　第3课时　利用导数证明不等式-【创新思维】2023高考二轮数学专题复习配套PPT课件，多选（新教材新高考）

第3课时　利用导数证明不等式 突破考点 全析考法 专题限时训练 二轮 · 数学 考点一　证明由函数值构成的不等式 突破考点 全析考法 专题限时训练 二轮 · 数学 突破考点 全析考法 专题限时训练 二轮 · 数学 突破考点 全析考法 专题限时训练 二轮 · 数学 方法总结 证明不等式的基本方法 (1)利用单调性：若f(x)在[a，b]上是增函数，则：①∀x∈[a，b]，有f(a)≤f(x)≤f(b)；②∀x1，x2∈[a，b]，且x1<x2，有f(x1)<f(x2)．对于减函数有类似结论． (2)利用最值：若f(x)在某个范围D内有最大值M(或最小值m)，则∀x∈D，有f(x)≤M(或f(x)≥m)． (3)构造法：如若证明f(x)<g(x)，可构造函数F(x)＝f(x)－g(x)，证明F(x)<0.　 突破考点 全析考法 专题限时训练 二轮 · 数学 突破考点 全析考法 专题限时训练 二轮 · 数学 突破考点 全析考法 专题限时训练 二轮 · 数学 因为曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)的一个公共点是A(1,1)，且在点A处的切线互相垂直，所以g(1)＝1，且f′(1)·g′(1)＝－1，所以g(1)＝a＋1－b＝1，g′(1)＝－a－1－b＝1，解得a＝－1，b＝－1. 突破考点 全析考法 专题限时训练 二轮 · 数学 突破考点 全析考法 专题限时训练 二轮 · 数学 考点二　证明由函数零点构成的不等式 [典例]　(2022·济南高三模拟)已知函数f(x)＝2ln x－(a＋1)x2－2ax＋1(a∈R)． (1)求函数f(x)的单调区间． 突破考点 全析考法 专题限时训练 二轮 · 数学 突破考点 全析考法 专题限时训练 二轮 · 数学 突破考点 全析考法 专题限时训练 二轮 · 数学 突破考点 全析考法 专题限时训练 二轮 · 数学 突破考点 全析考法 专题限时训练 二轮 · 数学 突破考点 全析考法 专题限时训练 二轮 · 数学 突破考点 全析考法 专题限时训练 二轮 · 数学 突破考点 全析考法 专题限时训练 二轮 · 数学 突破考点 全析考法 专题限时训练 二轮 · 数学 方法总结 有关函数零点的不等式，常借助函数零点存在性定理，结合函数单调性、极值，确定零点所在范围，进一步向所证不等式转化．　 突破考点 全析考法 专题限时训练 二轮 · 数学 (2022·启东模拟)已知函数f(x)＝aex－x，a∈R.若f(x)有两个不同的零点x1，x2.证明：x1＋x2>2. 突破考点 全析考法 专题限时训练 二轮 · 数学 所以g(x)在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， 由于x1，x2是方程g(x)＝0的实根，不妨设0<x1<1<x2， 法一(对称化构造函数法)：要证x1＋x2>2，只要证x2>2－x1>1. 由于g(x)在(1，＋∞)上单调递减， 故只要证g(x2)<g(2－x1)， 由于g(x1)＝g(x2)＝0，故只要证g(x1)<g(2－x1)． 突破考点 全析考法 专题限时训练 二轮 · 数学 突破考点 全析考法 专题限时训练 二轮 · 数学 突破考点 全析考法 专题限时训练 二轮 · 数学 突破考点 全析考法 专题限时训练 二轮 · 数学 考点三　证明由极值点构成的不等式 [典例]　已知函数f(x)＝(x＋1)ln x＋(a－3)x. (1)若函数f(x)为增函数，求实数a的取值范围； 突破考点 全析考法 专题限时训练 二轮 · 数学 突破考点 全析考法 专题限时训练 二轮 · 数学 (2)若函数f(x)有两个极值点x1，x2(x1<x2)．求证：f(x1)＋f(x2)＋x1＋x2>－2. 突破考点 全析考法 专题限时训练 二轮 · 数学 突破考点 全析考法 专题限时训练 二轮 · 数学 突破考点 全析考法 专题限时训练 二轮 · 数学 方法总结 求解类似于x1＋x2>a的问题的基本步骤 (1)求导确定f(x)的单调性，得到x1，x2的范围； (2)构造函数F(x)＝f(x)－f(a－x)，求导后可得F(x)恒正或恒负； (3)得到f(x1)与f(a－x1)的大小关系后，将f(x1)置换为f(x2)； (4)根据x2与a－x1所处的范围，结合f(x)的单调性，可得到x2与a－x1的大小关系，由此证得结论．　 突破考点 全析考法 专题限时训练 二轮 · 数学 突破考点 全析考法 专题限时训练 二轮 · 数学 突破考点 全析考法 专题限时训练 二轮 · 数学 (2)证明：若f(x)有两个零点x1，x2，则x1x2＜1. 突破考点 全析考法 专题限时训练 二轮 · 数学 突破考点 全析考法 专题限时训练 二轮 · 数学 突破考