6.3 向量的数量积（三大题型）-2022-2023学年高一数学教材配套题型讲解过关练（人教A版2019必修第二册）

6.3 向量的数量积 · 考纲要求 1．掌握向量数量积的定义及投影向量． 2．会用两个向量的数量积求两个向量的夹角以及判断两个向量是否垂直． 3．掌握向量数量积的运算律及常用的公式． · 知识解读 知识点①两向量的夹角与垂直 1．夹角：已知两个非零向量a和b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角(如图所示)． 当θ＝0时，a与b同向；当θ＝π时，a与b反向． 2．垂直：如果a与b的夹角是，则称a与b垂直，记作a⊥b． 知识点②向量数量积的定义 非零向量a，b的夹角为θ，数量|a||b|cos θ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ，规定：零向量与任一向量的数量积等于0． 知识点③投影向量 在平面内任取一点O，作＝a，＝b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则就是向量a在向量b上的投影向量． 设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则与e，a，θ之间的关系为＝|a|cos θ e． 知识点④平面向量数量积的性质 设向量a与b都是非零向量，它们的夹角为θ，e是与b方向相同的单位向量．则 (1)a·e＝e·a＝|a|·cos θ． (2)a⊥b⇔a·b＝0． (3)当a∥b时，a·b＝ 特别地，a·a＝|a|2或|a|＝． (4)|a·b|≤|a||b|． 知识点⑤平面向量数量积的运算律 1．a·b＝b·a(交换律)． 2．(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(数乘结合律)． 3．(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)． · 题型讲解 题型一、求两向量的数量积 例1．已知正三角形ABC的边长为2，求： (1)·；(2)·；(3)·． 例2．已知|a|＝4，|b|＝6，且向量a与b的夹角为120°，求(2a＋3b)·(3a－2b)． 例3．(2022·广州模拟)在平面四边形ABCD中，已知＝，P为CD上一点，＝3，|| ＝4，||＝3，与的夹角为θ，且cos θ＝，则·＝________． 题型二、向量的模和夹角的计算问题 例4．(2022·广东珠海一模)已知|a|＝1，|b|＝3，且|a－b|＝2，则|a＋2b|＝______． 例5．已知向量a，b满足＝4，＝5，a·b＝4，则cos〈a，a＋b〉＝(　　)． A．　　 B．　　 C．－　　 D．－ 例6．已知非零向量a，b满足|a|＝1，且(a－b)·(a＋b)＝． (1)求|b|； (2)当a·b＝－时，求向量a与a＋2b的夹角θ的值． 题型三、平面向量的垂直问题 例7．若向量a，b满足＝2，＝，且⊥，则a与b夹角的余弦值为(　　 ) A． B． C． D． 例8．已知非零向量m，n满足4|m|＝3|n|，m与n夹角的余弦值为，若n⊥(tm＋n)，则实数t的值为(　　) A．4 B．－4 C． D．－ 例9．已知，为单位向量，当向量，的夹角分别等于45°，90°，135°时，求向量在向量上的投影向量． · 达标训练 1．对于任意向量a，b，c，下列命题中正确的是(　　) A．|a·b|＝|a||b| B．|a＋b|＝|a|＋|b| C．(a·b)c＝a(b·c) D．|a|＝ 2．(多选)已知两个单位向量e1，e2的夹角为θ，则下列结论正确的是(　　) A．e1在e2方向上的投影向量为cos θe2 B．e＝e C．(e1＋e2)⊥(e1－e2) D．e1·e2＝1 3．(2020·全国Ⅱ)已知单位向量a，b的夹角为60°，则在下列向量中，与b垂直的是(　　) A．a＋2b B．2a＋b C．a－2b D．2a－b 4．设e1和e2是互相垂直的单位向量，且a＝3e1＋2e2，b＝－3e1＋4e2，则a·b等于(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 5．(2022·沈阳模拟)若两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|＝2|a|，则a－b与b的夹角为(　　) A． B． C． D． 6．(2021·河北秦皇岛二模)在△ABC中，已知＝，＝4，＝3，＝2，则·＝(　　 ) A． B．3 C．