6.3.1 二项式定理 -【帮课堂】2022-2023学年高二数学同步精品讲义（人教A版2019选择性必修第三册）

6.3.1 二项式定理 课程标准 课标解读 1. 理解二项式定理的概念，会用二项式定理求解二项展开式； 2. 掌握二项式系数的规律和指数的变化规律. 3. 掌握多项式展开式的通项及特殊项或系数. 通过本节课的学习，要求能运用二项式定理求解二项展开式，会求展开式中的二项式系数，特殊项及特殊项系数，能用待定法求展开式中的待定系数.能解决与二项式定理相关的综合问题. 知识点1 二项式定理 (a＋b)n＝Can＋Can－1b＋Can－2b2＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)． (1)这个公式叫做二项式定理． (2)展开式：等号右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，展开式中一共有n＋1项． (3)二项式系数：各项的系数C(k∈{0,1,2，…，n})叫做二项式系数． 注：①项数：展开式中总共有项。 ②顺序：注意正确选择,,其顺序不能更改。与是不同的。 ③指数：的指数从逐项减到，是降幂排列。的指数从逐项减到，是升幂排列。各项的次数和等 于. ④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是项的系数是与的系数（包括二项式系数）。 【即学即练1】下列不属于的展开式的项的是（    ） A． B． C． D． 【即学即练2】求4的展开式． 【即学即练3】化简：C(x＋1)n－C(x＋1)n－1＋C(x＋1)n－2－…＋(－1)kC(x＋1)n－k＋…＋(－1)nC. 知识点2　二项展开式的通项 (a＋b)n展开式的第k＋1项叫做二项展开式的通项，记作Tk＋1＝Can－kbk. 拓展：二项式系数与二项展开式中项的系数相同吗？一般不同．前者仅为C，而后者是字母前的系数，故可能不同． 【即学即练4】的展开式的第8项的系数是（ ） A． B． C． D． 【即学即练5】的展开式中有理项有（ ） A．项 B．项 C．项 D．项 考点一 二项式定理的正用、逆用 解题方略： (1)(a＋b)n的二项展开式有n＋1项，是和的形式，各项的幂指数规律是：①各项的次数和等于n；②字母a按降幂排列，从第一项起，次数由n逐项减1直到0；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由0逐项加1直到n. (2)逆用二项式定理可以化简多项式，体现的是整体思想．注意分析已知多项式的特点，向二项展开式的形式靠拢． 【例1-1】利用二项式定理展开下列各式： (1)；(2)． 变式1：若(1＋)4＝a＋b(a，b为有理数)，则a＋b＝________. 【例1-2】化简(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1)＝________． 变式1：1－2C＋4C－8C＋…＋(－2)nC等于(　　) A．1 B．－1 C．(－1)n D．3n 变式2：已知，则（    ） A．31 B．32 C．15 D．16 考点二 二项展开式的通项的应用 解题方略： 求二项展开式的特定项的常用方法 (1)对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)． (2)对于有理项，一般是先写出通项公式，求其所有的字母的指数恰好都是整数的项．解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数集，再根据数的整除性来求解． (3)对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致． 【例2-1】【多选】对于二项式n(n∈N*)，下列判断正确的有(　　) A．存在n∈N*，展开式中有常数项 B．对任意n∈N*，展开式中没有常数项 C．对任意n∈N*，展开式中没有x的一次项 D．存在n∈N*，展开式中有一次项 变式1：6的展开式中的常数项为(　　) A．60 B．－60 C．250 D．－250 变式2：(x－y)10的展开式中x6y4的系数是(　　) A．840 B．－840 C．210 D．－210 变式3：展开式中，的系数为（ ） A．20 B． C．160 D． 变式4：已知的展开式中含的项的系数为（    ） A．30 B．-30 C．25 D．-25 变式5：在(1－x)5－(1－x)6的展开式中，含x3的项的系数是(　　) A．－5 B．5 C．－10 D．10 变式6：求下列各展开式中的指定项： (1)展开式中的第4项； (2)展开式中的第3项． 变式7：在6的展开式中，求： (1)第3项的二项式系数及系数； (2)含x2的项． 变式8：二项式的展开式的中间项为（ ） A． B． C．和 D．和 变式9：在的展开式中，含的正整数次幂的项共有 （ ） A．4项 B．3项 C．2项 D．1项 变式10：在二项式 的展开式中， 系数为有理数的项的个数是_____. 【例2-2】若的展开式中第4项是常数项，