7.2 复数的四则运算-【三维同步讲练】2022-2023学年高一数学同步精讲系列【知识点·方法·题型】（人教A版2019必修第二册）

7.2 复数的四则运算 1.熟练掌握复数代数形式的加、减运算法则. 2.理解复数加减法的几何意义，能够利用“数形结合”的思想解题． 3.掌握复数代数形式的乘法和除法运算. 4.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律. 解读：1.通过本节课的学习，要求熟练掌握复数的加减运算，并能与向量相结合，用数形结合的思想解决与复数相关的综合问题. 2.通过本节课的学习，要求掌握复数的乘、除法的运算方法，掌握复数单位的应用价值，能用实数化的思想解决复数问题. 知识点1　 复数的加法★★☆ 知识点2　 复数的减法★★☆ 复数代数形式的加减法 (1)运算法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意两个复数，那么(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i，(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i. (2)加法运算律：对任意，有，． 复数加减法的几何意义 复数加法的几何意义 复数z1＋z2是以，为邻边的平行四边形的对角线所对应的复数 复数减法的几何意义 复数z1－z2是从向量的终点指向向量的终点的向量所对应的复数 【微点拨】 1．复数代数形式的加减法满足交换律、结合律，复数的减法是加法的逆运算． 2．复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则，复数减法的几何意义就是向量减法的三角形法则. 【例题精析1】 已知、，且，若，则的最大值是（    ）． A．6 B．5 C．4 D．3 【解答】设，，故，，则， ， ，当时，有最大值为4.故选：C 【例题精析2】 已知，，则（    ） A．4 B． C． D． 【解答】由，得， ， 故选：D. 【例题精析3】 若，则等于（    ） A． B． C． D． 【解答】设， 则，所以，得， 所以. 故选：B. 【例题精析4】 ______．（其中i是虚数单位） 【解答】 故答案为： 【例题精析5】 在复平面内，O为原点，四边形OABC是复平面内的平行四边形，且A，B，C三点对应的复数分别为z1，z2，z3，若，则z2=（    ） A．1+i B．1－i C．－1+i D．－1－i 【解答】因为O为原点，四边形OABC是复平面内的平行四边形， 又因为， 所以由复数加法的几何意义可得， . 故选：C. 【例题精析6】 著名的费马问题是法国数学家皮埃尔·德费马（1601-1665）于1643年提出的平面几何极值问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”费马问题中的所求点称为费马点，已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当的三个内角均小于120°时，则使得的点即为费马点．根据以上材料，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【解答】设，则表示点到三顶点、、的距离之和. 依题意结合对称性可知的费马点位于虚轴的负半轴上，且，则. 此时. 故选：B. 【例题精析7】 已知，且，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【解答】解：设， 满足的点均在以为圆心，以为半径的圆上， 所以可以看成到定点的距离， 如图所示，可知最小值为4-1=3． 故选：D. 【例题精析8】 如图，设向量，，所对应的复数为z1，z2，z3，那么（ ） A．z1－z2－z3＝0 B．z1＋z2＋z3＝0 C．z2－z1－z3＝0 D．z1＋z2－z3＝0 【解答】由题图可知，，，∴z1＋z2－z3＝0.故选：D 【例题精析9】 已知，则（    ） A． B． C． D． 【解答】设，则．由得，则，所以，，所以． 故选：B. 【例题精析10】 若|z|+z=3+i，则z=（    ） A．1－i B．1+i C．+i D．－+i 【解答】设复数z=x+yi(x，y∈R)， 依题意有+x+yi=3+i， 因此解得故z=+i. 故选：C. 【例题精析11】 已知z1＝(3x＋y)＋(y－4x)i(x，y∈R)，z2＝(4y－2x)－(5x＋3y)i(x，y∈R)．设z＝z1－z2，且z＝13－2i，则z1＝__________，z2＝__________． 【解答】z＝z1－z2＝ ＝13－2i， ∴，解得 ∴z1＝5－9i，z2＝－8－7i． 故答案为：5－9i；－8－7i 【对点精练1】 设，，，则______. 【解答】因为，，， 所以. 故答案为： 【对点精练2】 ______． 【解答】. 故答案为： 【对点精练3】 已知复数，，则_________ 【解答】因为，， 所以. 故答案为：. 【对点精练4】 若复数z满足，则|z|的最大值为______________． 【解答】因为， 所以， 即，所以， 所以|z|的最大值为14. 故答案为：14 【对点精练5】 若复数z满足|z－i|＝3，则复数z