第9章 整式乘法与因式分解 类型八、平方差的几何应用 讲义 2022—2023学年苏科版数学七年级下册

类型八、平方差的几何应用 【解惑】 方法：等积法 【融会贯通】 1．如图，将图1中的一个小长方形变换位置得到如图2所示的图形，根据两个图形中阴影部分的面积关系得到的等式是（    ） A． B． C． D． 2．在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（）．把余下的部分剪拼成一个矩形（如图）．通过计算图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，则这个等式是（　　） A． B． C． D． 3．如图，在边长为a的正方形中，剪去一个边长为x的小正方形，将余下部分对称剪开，拼成一个梯形，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于a，x的恒等式是（   ） A． B． C． D． 4．如图，有两张正方形纸片和，图将放置在内部，测得阴影部分面积为，图将正方形和正方形并列放置后构造新正方形，测得阴影部分面积为，若将个正方形和个正方形并列放置后构造新正方形如图，图，图中正方形纸片均无重叠部分则图阴影部分面积为（   ） A． B． C． D． 5．如图，阴影部分是边长是a的大正方形剪去一个边长是b的小正方形后所得到的图形，将阴影部分通过割、拼，形成新的图形，给出下列4幅图割拼方法：其中能够验证平方差公式有（    ） A．①②③④ B．①③ C．①④ D．①③④ 【知不足】 6．如图1，在边长为的大正方形中，剪去一个边长为3的小正方形，将余下的部分按图中的虚线剪开后，拼成如图2所示的长方形．根据两个图形阴影部分面积相等的关系，可以列出的等式为_________． 7．有边长为的大正方形和边长为的小正方形，现将放在内部得到图甲，将，并列放置后，构造新的正方形得到图乙，图甲和图乙阴影部分的面积分别是和，则 （1）根据图甲、乙中的面积关系，可以得到______，______． （2）若个正方形和个正方形按图丙摆放，阴影部分的面积为______． 8．两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为．当+＝40时，则图3中阴影部分的面积＝_____． 9．如图，大正方形与小正方形的面积之差是60，则阴影部分的面积是_____． 10．从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图）． （1）探究：上述操作能验证的等式是：__________；（请选择正确的一个） A． B． C． （2）应用：利用所选（1）中等式两边的等量关系，完成下面题目：若，，则的值为__________． 【一览众山小】 11．（1）如图1，若大正方形的边长为，小正方形的边长为，则阴影部分的面积是________；若将图1中的阴影部分裁剪下来，重新拼成如图2的一个长方形，则它的长为________；宽为________；面积为________． （2）由（1）可以得到一个公式：________． （3）利用你得到的公式计算：． 12．阅读理解，自主探究 数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质．例如：平方差公式“两个数的和与这两个数的差的积，就等于䢍两个数的平方差”，即，平方差公式的几何意义如下图所示： 图甲阴影部分面积为，图乙阴影部分面积为； 由于阴影部分面积相同，所以有 (1)解决问题：如下图是完全平方公式的几何意义，请写出这个公式________． (2)学以致用：请解释的几何意义． (3)拓展延伸：请解释的几何意义，并写出乘积的结果． 13．如图1，边长为的大正方形剪去一个边长为的小正方形，然后将图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）． (1)上述操作能验证的等式是______（用，表示）； (2)请利用你从（1）得出的等式，完成下列各题： ①已知，，则______； ②计算：． 14．综合与实践 如图1所示，边长为的正方形中有一个边长为的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形，设图1中阴影部分面积为，图2中阴影部分面积为． (1)请直接用含和的代数式表示__________， __________；写出利用图形的面积关系所得到的公式：__________（用式子表达）． (2)依据这个公式，康康展示了“计算：”的解题过程． 解：原式 ． 在数学学习中，要学会观察，尝试从不同角度分析问题，请仿照康康的解题过程计算：． (3)对数学知识要会举一反三，请用（1）中的公式证明任意两个相邻奇数的平方差必是8的倍数． 15．从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是       ．（请选择正确的选项） A、