第9章 整式乘法与因式分解 类型三、单、多项式中的新定义 讲义 2022—2023学年苏科版数学七年级下册

类型三、单、多项式中的新定义 【解惑】 我们规定一种运算：＝ad﹣bc，例如＝3×6﹣4×5＝﹣2，＝4x＋6．按照这种运算规定，当x＝_____时，＝0． 方法：在基础定义的时候，我们只需学会模仿，无需理解题意；如上题。 如果遇到答题最后一题的话，需要理解题意，举一反三。 【融会贯通】 1．现定义运算“”，对于任意有理数，，都有，例如：，由此可知等于（    ） A． B． C． D． 2．设a、b是实数，定义@的一种运算如下：，则下列结论： ①若，，则.            ②若，则. ③.                                ④. 其中正确的是（    ） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 3．在数学中，为了书写简便，18世纪数学家欧拉就引进了求和符号""如记， ，已知，则m的值是（  ） A．40 B．-70 C．-40 D．-20 4．形如的式子叫做二阶行列式，它的运算法则用公式表示为，那么当时，则为（    ） A．17 B．18 C．19 D．20 【知不足】 5．【定义新运算】把任意数对放入魔盒后，会得到新的运算：． 【解决新问题】把数对放入该魔盒，得到结果；把数对再次放入该魔盒，得到的结果为___________． 6．若规定一种运算 ＝ad－bc，则化简 ＝______． 7．定义新运算：，则 ___________________． 【一览众山小】 8．对于一个三位自然数，如果首尾两项和等于中间项的2倍，则称其为等差数．如：123，，则123为等差数；125，，则125不是等差数． （1）试判断246，777是否为等差数； （2）求能被15整除的所有三位等差数的个数，并说明理由． 9．对于任何实数，我们规定符号，例如：． (1)按照这个规定请你计算的值； (2)按规定请写出的结果； (3)当a取的相反数时，请计算的值． 10．化简并求值：定义一种新的运算法则： ， 请你化简式子： ， 若， 请计算上面这个式子的值． 11．我阅读：类比于两数相除可以用竖式运算，多项式除以多项式也可以用竖式运算，其步骤是： （1）把被除式和除式按同一字母的降幂排列（若有缺项用零补齐）． （2）用竖式进行运算． （3）当余式的次数低于除式的次数时，运算终止，得到商式和余式．我会做：请把下面解答部分中的填空内容补充完整．求的商式和余式． 解： 答：商式是，余式是（    ） 我挑战：已知能被整除，请直接写出a、b的值． 12．已知x、y为有理数，现规定一种新运算，满足． （1）求的值； （2）求的值； （3）探索与的关系，并用等式把它们表达出来． 13．定义：若，则称与是关于的平衡数． （1）4与　　　　是关于的平衡数，与　　　　是关于的平衡数．（用含的代数式表示） （2）若，判断与是否是关于的平衡数，并说明理由． 14．定义一种新运算，观察下列各式 1⊕3=1×3-3=0 3⊕（-1）=3×3+1=10 5⊕4=5×3-4=11 4⊕（-3）=4×3+3=15 （Ⅰ）请计算（-1）⊕=_______； （Ⅱ）请猜一猜：a⊕b=________．（用含a、b的代数式表示）； （Ⅲ）若a⊕（-6b）=，请计算（2a+b)⊕(2a-5b)的值． 15．对于任何实数，我们规定符号的意义是：，按照这个规定请你计算：当时，的值． 16．阅读下列材料，并回答问题： 如果两个两位数的十位数字相同，个位数字相加为10，那么能立即说出这两个两位数的乘积，如果这两个两位数分别写作和（即十位数字为，个位数字分别为、，，），那么它们的乘积是一个4位数，前两位数字是和的乘积，后两位数字就是和的乘积，如：，． （1）________； （2）设这两个两位数的十位数字为，个位数字分别为和，，通过计算验证这两个两位数的乘积为． 17．新定义若三角形“”表示3abc，方框“”表示(xm＋yn)，试求×的值． 18．定义：对于依次排列的多项式x+a，x+b，x+c，x+d(a，b，c，d是常数)，当它们满足在，且M为常数时，则称a，b，c，d是一组平衡数，M是该组平衡数的平衡因子，例如：对于多项式x+2，x+1，x+6，x+5，因为，所以2，1，6，5是一组平衡数，4是该组平衡数的平衡因子. (1)已知2，4，7，9是一组平衡数，求该组平衡数的平衡因子M； (2)若a，b，c，d是一组平衡数，a=-4，d=3，请直接写出组b，c的值； (3)当a，b，c，d之间满是什么数量关系时，它们是一组平衡数，并说明理由. 19．阅读理解题： 定义：如果一个数的平方等于﹣1，记为i2＝﹣1，这个数i叫做虚数单位，把形如a+bi（a，b为实数）的数叫做复数，其中a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部．它的加，减，乘法运算