专题07 一元二次方程根的判别式和根与系数的关系（热考题型）-【一题三变系列】2022-2023学年八年级数学下册重要考点题型精讲精练(沪科版)

专题07 一元二次方程根的判别式和根与系数的关系 【思维导图】 ◎考点题型1 根的判别式判断根的情况 根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系： ①当△＞0时，方程有两个不相等的实数根； ②当△＝0时，方程有两个相等的实数根； ③当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立． 例．（2022秋·河南驻马店·九年级校考阶段练习）在平面直角坐标系中，若直线不经过第三象限，则关于x的方程的实数根的情况为（　　） A．无实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 变式1．（2022秋·宁夏吴忠·九年级校联考期末）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式2．（2022秋·辽宁沈阳·九年级统考期中）关于一元二次方程的根的情况叙述正确的是（　　） A．方程有一个实数根 B．方程有两个不等实数根 C．方程有两个相等实数根 D．方程没有实数根 变式3．（2023春·浙江·八年级专题练习）已知关于的一元二次方程，若等腰三角形的其中一边为4，另两边是这个方程的两根，则的值为（　　） A．3 B．4 C．3或4 D．不能确定 变式4．（2022秋·吉林长春·九年级校考阶段练习）已知关于x的方程． (1)若方程有一个根为，求m的值． (2)求证：方程总有两个不相等的实数根． 变式5．（2023秋·北京东城·九年级统考期末）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根； (2)当该方程的判别式的值最小时，写出m的值，并求出此时方程的解． ◎考点题型2 根据根的情况求参数 例．（2022秋·江苏连云港·九年级校考阶段练习）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 变式1．（2023春·浙江·八年级专题练习）已知关于x的一元二次方程有两个实数根，则a的取值范围是（　　） A． B．且 C．且 D． 变式2．（2023春·八年级课时练习）若关于的一元二次方程有实数解，且关于的分式方程有正数解，则符合条件的整数的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 变式3．（2022秋·四川巴中·九年级统考阶段练习）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（　　） A． B．m<3且m≠2 C．且m≠2 D．m<3 变式4．（2023秋·湖南邵阳·九年级统考期末）已知关于x的一元二次方程． (1)若是方程的一个根，求m的值及另一个根； (2)若该一元二次方程方程有两个不同的实数根，求m的取值范围． 变式5．（2022秋·四川成都·九年级校考期中）已知方程： (1)当a取什么值时，方程有两个相等的实数根？ (2)当a取什么值时，方程有两个不相等的实数根？ (3)当a取什么值时，方程有实数根？ ◎考点题型3 根与系数的关系 根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2． 例．（2023秋·天津河西·九年级统考期末）方程的两个根的和为（    ） A． B． C．2 D． 变式1．（2021·浙江·九年级自主招生）已知方程，记两根为，求的值为（    ） A．3 B． C．4 D． 变式2．（2021秋·河南新乡·九年级新乡市第一中学校考期末）已知是方程的两个不等实数根，则的值为（　　） A．1009 B．2018 C．2021 D．2022 变式3．（2023秋·山东临沂·九年级校考期末）一元二次方程根的情况是（    ） A．无实数根 B．有一个正根，一个负根 C．有两个正根，且都小于5 D．有两个正根，且有一根大于4 变式4．（2022秋·广西贵港·九年级统考期中）已知关于x的一元二次方程有两个实数根和． (1)求k的取值范围； (2)若方程的两实数根，满足，求实数k的值． 变式5．（2022秋·贵州安顺·九年级统考期末）阅读下列材料： 已知实数p，q满足，且，求的值． 解：∵， ∴每一项都除以，得． 又∵，且p， ∴p，是方程的两个不等的实数根，由根与系数的关系，得， ∴ 根据材料中所提供的方法，解答下列问题： 已知实数p，q满足，，且． (1)p　　，　　； (2)求的值． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 一元二次方程根的判别式和根与系数的关系 【思维导图】 ◎考点题型1 根的判别式判断根的情况 根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系： ①当△＞0时，方程有两个不相等的实数根； ②当△＝0时，方程有两个相等的实数根； ③当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立． 例．（