专题04 离散型随机变量及其数字特征重难点题型分类-2022-2023学年高二数学课后培优分级练（人教A版2019选择性必修第三册）

专题04 离散型随机变量及其分布列和数字特征 知识梳理 1.离散型随机变量 一般地，如果随机试验的样本空间为Ω，而且对于Ω中的每一个样本点，变量X都对应有唯一确定的实数值，就称X为一个随机变量.其所有可能的取值都是可以一一列举的随机变量称为离散型随机变量. 2.离散型随机变量的分布列 一般地，若离散型随机变量X的取值范围是{x1，x2，…，xn}，如果对任意k∈{1，2，…，n}，概率P(X＝xk)＝pk都是已知的，则称X的概率分布是已知的，离散型随机变量X的概率分布可以用如下形式的表格表示，这个表格称为X的概率分布或分布列. X x1 x2 … xk … xn P p1 p2 … pk … pn 3.离散型随机变量的分布列的性质 (1)pk≥0，k＝1，2，…，n； (2)pk＝p1＋p2＋…＋pn＝1. 4.离散型随机变量的数学期望与方差、标准差 一般地，如果离散型随机变量X的分布列如下表所示 X x1 x2 … xk … xn P p1 p2 … pk … pn (1)均值 称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＝xipi为离散型随机变量X的均值或数学期望(简称为期望). (2)方差 D(X)＝[x1－E(X)]2p1＋[x2－E(X)]2p2＋…＋[xn－E(X)]2pn＝[xi－E(X)]2pi，能够刻画X相对于均值的离散程度(或波动大小)，这称为离散型随机变量X的方差. (3)标准差 称称为离散型随机变量X的标准差，它也可以刻画一个离散型随机变量的离散程度(或波动大小). 5.均值与方差的性质 (1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b. (2)D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b为常数). 题型一：分布列的性质 1．设是一个离散型随机变量，其分布列为 则等于（    ）A．1 B． C． D． 2．甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共下三局．用表示甲的得分，则表示（    ） A．甲赢三局 B．甲赢一局输两局 C．甲、乙平局二次 D．甲赢一局输两局或甲、乙平局三次 3．已知随机变量X的分布列为，，则等于（    ） A． B． C． D． 4．设随机变量的概率分布列为： 则（    ）A． B． C． D． 5．已知随机变量X的分布列为（，2，3，4），则（    ） A． B． C． D． 6．若离散型随机变量X的分布列服从两点分布，且，则（    ） A． B． C． D． 7．设随机变量的分布列为，、、，其中为常数，则（    ） A． B． C． D． 8．甲、乙两名篮球运动员每次投篮的命中率分别为0.8，0.7，他们各自投篮1次，设两人命中总次数为X，则X的分布列为（    ） A． X 0 1 2 P 0.08 0.14 0.78 B． X 0 1 2 P 0.06 0.24 0.70 C． X 0 1 2 P 0.06 0.56 0.38 D． X 0 1 2 P 0.06 0.38 0.56 9．同时掷两颗质地均匀的骰子，观察朝上一面出现的点数.设两颗骰子出现的点数分别为，，记，则（    ） A． B． C． D． 10．一个盒子装有红、白、蓝、绿四种颜色的玻璃球，每种颜色的玻璃球至少有一个．从中随机拿出4个玻璃球，这4个球都是红色的概率为，恰好有三个红色和一个白色的概率为，恰好有两个红色、一个白色和一个蓝色的概率为，四种颜色各一个的概率为．若恰好有，则这个盒子里玻璃球的个数的最小值为（    ） A．17 B．19 C．21 D．前三个答案都不对 题型二：分布列的求法 1．若随机变量ξ只能取两个值0，1，又知ξ取0的概率是取1的概率的3倍，写出ξ的分布列. 2．篮球比赛中每次罚球命中得1分，不中得0分.已知某运动员罚球命中的概率为0.85，求他一次罚球得分的分布列. 3．在购物抽奖活动的随机试验中，令表示“中奖”；表示“不中奖”．如果中奖的概率为0.6，试写出随机变量的分布列． 4．已知随机变量的分布列如表所示． 0 1 2 3 (1)求随机变量的分布列； (2)若，求实数的取值范围． 5．某校为缓解学生压力，举办了一场趣味运动会，其中有一个项目为篮球定点投篮，比赛分为初赛和复赛．初赛规则为：每人最多投3次，每次投篮的结果相互独立．在处每投进一球得3分，在处每投进一球得2分，否则得0分．将学生得分逐次累加并用表示，如果的值不低于3分就判定为通过初赛，立即停止投篮，否则应继续投篮，直到投完三次为止．现甲先在处投一球，以后都在处投，已知甲