小卷12 二次函数综合题-【智乐星中考·中考备战】2023年山东聊城中考数学（青岛版六三学制）

小卷12　二次函数综合题 姓名：________　　班级：________ 1．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－3，0)，C(0，4)，点B在抛物线上，CB∥x轴，且AB平分∠CAO. (1)求抛物线的表达式； (2)线段AB上有一动点P，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点Q，求线段PQ的最大值； (3)抛物线的对称轴上是否存在点M，使△ABM是以AB为直角边的直角三角形？如果存在，求出点M的坐标；如果不存在，说明理由． 2．如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋5(a≠0)与x轴交于点A(－5，0)，B(1，0)(点A在点B的左边)，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，连接BD.直线y＝－x－经过点A，且与y轴交于点E. (1)求抛物线的表达式； (2)N是抛物线上的一点，当△BDN是以DN为腰的等腰三角形时，求点N的坐标； (3)F为线段AE上的一点，G为线段OA上的一点，连接FG，并延长FG与线段BD交于点H(点H在第一象限)．当∠EFG＝3∠BAE且HG＝2FG时，求出点F的坐标． 3．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋2与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，已知A，B两点坐标分别是A(1，0)，B(－4，0)，连接AC，BC. (1)求抛物线的表达式； (2)将△ABC沿BC所在直线折叠，得到△DBC，点A的对应点D是否落在抛物线的对称轴上？若点D在对称轴上，请求出点D的坐标；若点D不在对称轴上，请说明理由； (3)若点P是抛物线位于第二象限图象上的一动点，连接AP交BC于点Q，连接BP，△BPQ的面积记为S1，△ABQ的面积记为S2，求的值最大时点P的坐标． 4．如图，抛物线y＝ax2－2x＋c(a≠0)与x轴交于A，B(3，0)两点，与y轴交于点C(0，－3)，抛物线的顶点为D. (1)求抛物线的表达式； (2)点P在抛物线的对称轴上，点Q在x轴上，若以点P，Q，B，C为顶点，BC为边的四边形为平行四边形，请直接写出点P，Q的坐标； (3)已知点M是x轴上的动点，过点M作x轴的垂线交抛物线于点G，是否存在这样的点M，使得以点A，M，G为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 参考答案 1．解：(1)∵A(－3，0)，C(0，4)，∴OA＝3，OC＝4. ∵∠AOC＝90°，∴AC＝5. ∵BC∥AO，AB平分∠CAO， ∴∠CBA＝∠BAO＝∠CAB，∴BC＝AC＝5， ∴点B的坐标为(5，4)． 将A(－3，0)，C(0，4)，B(5，4)代入抛物线y＝ax2＋bx＋c得解得 ∴抛物线的表达式为y＝－x2＋x＋4. (2)设直线AB的表达式为y＝mx＋n. 将A(－3，0)，B(5，4)的坐标代入得 解得∴直线AB的表达式为y＝x＋. 设点Q的坐标为(t，－t2＋t＋4)(－3≤t≤5)，则点P的坐标为(t，t＋)， ∴PQ＝－t2＋t＋4－(t＋)＝－t2＋＋＝－(t－1)2＋. ∵－＜0，－3≤t≤5， ∴当t＝1时，PQ取到最大值，最大值为， ∴线段PQ的最大值为. (3)存在．理由如下： ①如图，当∠BAM＝90°时， ∵抛物线的对称轴为直线 x＝－＝－＝， ∴xH＝xG＝xM＝. 又∵点G在直线AB上， ∴yG＝×＋＝，∴GH＝. ∵∠GHA＝∠GAM＝90°， ∴∠MAH＝90°－∠GAH＝∠AGM. ∵∠AHG＝∠MHA＝90°， ∴△AHG∽△MHA，∴＝， ∴＝，解得MH＝11， ∴点M的坐标为(，－11)； ②如图，当∠ABM＝90°时， ∵∠BDG＝90°，BD＝5－＝， DG＝4－＝， ∴BG＝＝ ＝. 同理AG＝. ∵∠AGH＝∠MGB，∠AHG＝∠MBG＝90°， ∴△AGH∽△MGB，∴＝， ∴＝，解得MG＝， ∴MH＝MG＋GH＝＋＝9，∴点M的坐标为(，9)． 综上所述，符合要求的点M的坐标为(，－11)和(，9)． 2．解：(1)将(－5，0)，(1，0)代入y＝ax2＋bx＋5(a≠0)得 解得 ∴抛物线的表达式为y＝－x2－4x＋5. (2)由表达式得顶点D(－2，9)． ①当DB＝DN时，根据抛物线对称性得点A与点N重合，∴N1(－5，0)； ②当DN＝BN时，如图，点N在BD的垂直平分线上， BD的垂直平分线交BD于点I，交x轴于点Q，BD与y轴交于点K. 将点D，B的坐标代入表达式得yDB＝－3x＋3， ∴OK＝3，OB＝1，∴BK＝. ∵∠KBO＋∠OKB＝90°，∠KBO＋∠IQB＝90°， ∴∠IQB＝∠OKB. 在Rt△OKB中，sin∠OKB＝＝， ∴sin∠IQB＝＝＝. ∵点I是BD的中点，BD＝＝3， ∴BI＝，∴BQ＝15，∴Q(－14，0)，I(－，)． 设yQI＝ex＋n. 将点Q，I的坐标代入得解得