小卷11 圆的综合题-【智乐星中考·中考备战】2023年山东聊城中考数学（青岛版六三学制）

小卷11　圆的综合题 姓名：________　　班级：________ 1．如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，过点C的切线交DA的延长线于点E，DE⊥CE，连接CD，BC. (1)求证：∠DAB＝2∠ABC; (2)若tan∠ADC＝，BC＝4，求⊙O的半径． 2．如图，AD是⊙O的直径，AB为⊙O的弦，OE⊥AD，OE与AB的延长线交于点E，点C在OE上，满足∠CBE＝∠ADB. (1)求证：BC是⊙O的切线； (2)若∠CBE＝∠ADB＝30°，OA＝3，求线段CE的长． 3．如图，PA与⊙O相切于点A，连接PO，过点A作AB⊥OP，垂足为C，交⊙O于点B.连接PB，AO，并延长AO交⊙O于点D，交PB的延长线于点E. (1)求证：PB是⊙O的切线； (2)若OC＝3，AC＝4，求PB的长． 4．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，∠ABC＝60°.将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△EOC，EO交AC于点D，连接EA. (1)求证：EA是⊙O的切线； (2)连接EB，且EB交AC于点F. ①求证：EF·BC＝3BF·DO； ②求tan∠CEF的值． 5．如图，AB是⊙O的直径，F是AB上方半圆上的一点(点F不与点A，B重合)，DE是⊙O的切线，DE⊥AF交射线AF于点E. (1)求证：AD平分∠BAF； (2)若AE＝4，AB＝5，求AD的长． 6．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，经过点C的切线交AB的延长线于点E，AD⊥EC交EC的延长线于点D，连接AC. (1)求证：AC平分∠DAE； (2)若cos∠DAE＝，BE＝2，求⊙O的半径． 7．如图，已知△ABC的边AB是⊙O的切线，切点为E，AC经过圆心O并与圆相交于点F，CB交⊙O于点D，连接CE，DE，EF，且DE＝EF. (1)求证：AB⊥BC； (2)若BC＝3，sin A＝，求AF的长． 参考答案 1．(1)证明：如图，连接OC. ∵EC与⊙O相切于点C， ∴OC⊥EC. ∵DE⊥EC，∴OC∥DE， ∴∠DAB＝∠AOC. ∵＝，∴∠AOC＝2∠ABC， ∴∠DAB＝2∠ABC. (2)解：如图，连接AC. ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°. ∵＝，∴∠ABC＝∠ADC， ∴tan∠ABC＝tan∠ADC＝. ∵BC＝4，∴AC＝2，∴AB＝＝2， ∴⊙O的半径为. 2．(1)证明：如图，连接OB. ∵AD是⊙O的直径， ∴∠ABD＝90°， ∴∠DBC＋∠CBE＝90°. ∵OD＝OB，∴∠ADB＝∠OBD. ∵∠CBE＝∠ADB，∴∠CBE＝∠OBD. ∴∠DBC＋∠OBD＝90°，即∠OBC＝90°. ∵OB为⊙O的半径，∴BC是⊙O的切线． (2)解：∵∠OBC＝90°，∠CBE＝30°，∴∠OBA＝60°. ∵OA＝OB＝3，∴△OAB为等边三角形， ∴∠AOB＝∠OAB＝60°. ∵∠AOE＝90°，∴∠E＝30°，∠COB＝30°. 在Rt△OBC中，CB＝OB·tan∠COB＝3tan 30°＝. ∵∠CBE＝∠E＝30°，∴CE＝CB＝. 3．(1)证明：如图，连接OB. ∵PO⊥AB，OB＝OA， ∴AC＝BC，∴PA＝PB. 在△PAO和△PBO中， ∴△PAO≌△PBO(SSS)，∴∠OBP＝∠OAP＝90°. ∵OB为⊙O的半径，∴PB是⊙O的切线． (2)解：在Rt△ACO中，OC＝3，AC＝4， ∴由勾股定理得AO＝＝＝5， ∴tan∠POA＝＝，即＝，∴PA＝. 又∵PA，PB为切线，∴PB＝PA＝. 4．(1)证明：∵AB为⊙O的直径，∠ABC＝60°， ∴∠BCA＝90°，∠BAC＝30°. ∵将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△EOC， ∴∠ACE＝60°，AC＝CE，∴∠CAE＝60°， ∴∠EAO＝∠CAE＋∠BAC＝60°＋30°＝90°. 又∵点A在⊙O上，∴EA是⊙O的切线． (2)①证明：由(1)可得EO⊥AC， ∴∠EDF＝∠BCF＝90°，AD＝CD. 又∵∠EFD＝∠CFB， ∴△EFD∽△BFC，∴＝， ∵AO＝BO，∠CAB＝30°，∴BC＝2DO，EO＝AB＝2BC， ∴EO＝4DO，即ED＝3DO. ∴＝，即EF·BC＝3BF·DO. ②解：如图，设CO与EB交于点M. ∵∠ACB＝∠EDA＝90°， ∴CB∥EO， ∴△CBM∽△OEM， ∴＝＝. 设⊙O的半径为r，则CM＝，CE＝r. 在Rt△ECM中，tan∠CEF＝tan∠CEM＝＝＝. 5．(1)证明：如图，连接OD. ∵DE与⊙O相切于点D， ∴DE⊥OD，∴∠ODE＝90°. ∵DE⊥AF，∴OD∥AF， ∴∠ODA＝∠DAF. ∵OD＝OA，∴∠ODA＝∠OAD, ∴∠OAD＝∠DA