小卷6 解直角三角形的实际应用-【智乐星中考·中考备战】2023年山东聊城中考数学（青岛版六三学制）

小卷6　解直角三角形的实际应用 姓名：________　　班级：________ 1．(2022·常德)第24届冬季奥林匹克运动会于今年2月4日至20日在北京举行，我国冬奥选手取得了9块金牌、4块银牌、2块铜牌，为祖国赢得了荣誉，激起了国人对冰雪运动的热情．某地模仿北京首钢大跳台建了一个滑雪大跳台(如图1)，它由助滑坡道、弧形跳台、着陆坡、终点区四部分组成．图2是其示意图，已知助滑坡道AF＝50米，弧形跳台的跨度FG＝7米，顶端E到BD的距离为40米，HG∥BC，∠AFH＝40°，∠EFG＝25°，∠ECB＝36°.求此大跳台最高点A距地面BD的距离是多少米．(结果保留整数．参考数据：sin 40°≈0.64，cos 40°≈0.77，tan 40°≈0.84，sin 25°≈0.42，cos 25°≈0.91，tan 25°≈0.47，sin 36°≈0.59，cos 36°≈0.81，tan 36°≈0.73) 2．(2022·辽宁)如图，B港口在A港口的南偏西25°方向上，距离A港口100海里处．一艘货轮航行到C处，发现A港口在货轮的北偏西25°方向，B港口在货轮的北偏西70°方向．求此时货轮与A港口的距离．(结果取整数．参考数据：sin 50°≈0.766，cos 50°≈0.643，tan 50°≈1.192，≈1.414) 3．(2022·营口)在一次数学课外实践活动中，某小组要测量一幢大楼MN的高度．如图，在山坡的坡脚A处测得大楼顶部M的仰角是58°，沿着山坡向上走75米到达B处，在B处测得大楼顶部M的仰角是22°.已知斜坡AB的坡度i＝3∶4(坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比)，求大楼MN的高度．(图中的点A，B，M，N，C均在同一平面内，点N，A，C在同一水平线上．参考数据：tan 22°≈0.4，tan 58°≈1.6) 4．图1是测温员用“额温枪”对小红测温时的实景图，图2是其侧面示意图，其中枪柄BC与手臂MC始终在同一直线上，枪身BA与额头保持垂直．量得胳膊MN＝28 cm，MB＝42 cm，肘关节M与枪身端点A之间的水平宽度为25.3 cm(即MP的长度)，枪身BA＝8.5 cm. (1)求∠ABC的度数； (2)测温时规定枪身端点A与额头距离范围为3～5 cm.在图2中，若测得∠BMN＝68.6°，小红与测温员之间距离为50 cm.问此时枪身端点A与小红额头的距离是否在规定范围内？并说明理由．(结果保留小数点后一位．参考数据：sin 66.4°≈0.92，cos 66.4°≈0.40，sin 23.6°≈0.40，≈1.414) 参考答案 1．解：如图，过点E作EN⊥BC于点N，交HG于点M， 则AB＝AH－EM＋EN. 根据题意可知∠AHF＝∠EMF＝∠EMG＝90°，EN＝40米． ∵HG∥BC，∴∠EGM＝∠ECB＝36°. 在Rt△AHF中，∠AFH＝40°，AF＝50米， ∴AH＝AF·sin∠AFH≈50×0.64＝32(米)． 在Rt△FEM和Rt△EMG中，设MG＝m米， 则FM＝(7－m)米， ∴EM＝MG·tan∠EGM＝MG·tan 36°≈0.73m米， EM＝FM·tan∠EFM＝FM·tan 25°≈0.47(7－m)米， ∴0.73m＝0.47(7－m)，解得m≈2.7， ∴EM≈2.0(米)， ∴AB＝AH－EM＋EN≈32－2.0＋40≈70(米)． 答：此大跳台最高点A距地面BD的距离是70米． 2．解：如图，过点B作BD⊥AC，垂足为D. 由题意得∠BAC＝25°＋25°＝50°， ∠BCA＝70°－25°＝45°. 在Rt△ABD中，AB＝100海里， ∴AD＝AB·cos 50°≈100×0.643＝ 64．3(海里)， BD＝AB·sin 50°≈100×0.766＝76.6(海里)． 在Rt△BDC中，CD＝＝76.6(海里)， ∴AC＝AD＋CD＝64.3＋76.6≈141(海里)． 答：此时货轮与A港口的距离约为141海里． 3.解：如图，过点B作BE⊥AC，垂足为E，过点B作BD⊥MN，垂足为D， 则BE＝DN，DB＝NE. ∵斜坡AB的坡度i＝3∶4， ∴＝， ∴设BE＝3a米，则AE＝4a米． 在Rt△ABE中， AB＝＝＝5a(米)． ∵AB＝75米，∴5a＝75， ∴a＝15，∴DN＝BE＝45(米)，AE＝60(米)． 设NA＝x米，∴BD＝NE＝AN＋AE＝(x＋60)米． 在Rt△ANM中，∠NAM＝58°， ∴MN＝AN·tan 58°≈1.6x(米)， ∴DM＝MN－DN＝(1.6x－45)米． 在Rt△MDB中，∠MBD＝22°， ∴tan 22°＝＝≈0.4，解得x＝57.5. 经检验，x＝57.5是原方程的根，且符合